Номер 2.51, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.51, страница 69.

Из сборника задач П. А. Ларичева. Решите уравнение (2.51–2.52):

2.51

а) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 2\frac{2}{3};$

б) $\frac{x}{x+4} + \frac{x}{x-4} = 5\frac{5}{9};$

В) $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3};$

Г) $\frac{5x+7}{x-2} - \frac{2x+21}{x+2} = 8\frac{2}{3}.$

a)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 2\frac{2}{3}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $x+1 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$ и $x \neq 1$.

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+1)(x-1) = x^2-1$:

$\frac{x(x-1) + x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{8}{3}$

Упростим числитель:

$\frac{x^2 - x + x^2 + x}{x^2 - 1} = \frac{8}{3}$

$\frac{2x^2}{x^2 - 1} = \frac{8}{3}$

Решим полученное уравнение, используя свойство пропорции:

$3 \cdot (2x^2) = 8 \cdot (x^2 - 1)$

$6x^2 = 8x^2 - 8$

$8x^2 - 6x^2 = 8$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда находим корни: $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm1$).

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x+4} + \frac{x}{x-4} = 5\frac{5}{9}$.

ОДЗ: $x+4 \neq 0$ и $x-4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$ и $x \neq 4$.

Преобразуем смешанную дробь: $5\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{50}{9}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x+4)(x-4) = x^2-16$:

$\frac{x(x-4) + x(x+4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{50}{9}$

$\frac{x^2 - 4x + x^2 + 4x}{x^2 - 16} = \frac{50}{9}$

$\frac{2x^2}{x^2 - 16} = \frac{50}{9}$

Решим уравнение с помощью пропорции:

$9 \cdot (2x^2) = 50 \cdot (x^2 - 16)$

$18x^2 = 50x^2 - 800$

$50x^2 - 18x^2 = 800$

$32x^2 = 800$

$x^2 = \frac{800}{32} = 25$

Корни уравнения: $x = \pm\sqrt{25}$, то есть $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm4$).

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -5$.

в)

Исходное уравнение: $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3}$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Преобразуем смешанную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-3)(x+3) = x^2-9$:

$\frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{10}{3}$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9)}{x^2 - 9} = \frac{10}{3}$.

$\frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9} = \frac{10}{3}$

Решим уравнение с помощью пропорции:

$3 \cdot (2x^2 + 18) = 10 \cdot (x^2 - 9)$

$6x^2 + 54 = 10x^2 - 90$

$10x^2 - 6x^2 = 54 + 90$

$4x^2 = 144$

$x^2 = 36$

Корни уравнения: $x = \pm\sqrt{36}$, то есть $x_1 = 6$, $x_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm3$).

Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -6$.

г)

Исходное уравнение: $\frac{5x+7}{x-2} - \frac{2x+21}{x+2} = 8\frac{2}{3}$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Преобразуем смешанную дробь: $8\frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-2)(x+2) = x^2-4$:

$\frac{(5x+7)(x+2) - (2x+21)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{26}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(5x^2 + 10x + 7x + 14) - (2x^2 - 4x + 21x - 42)}{x^2-4} = \frac{26}{3}$

$\frac{5x^2 + 17x + 14 - 2x^2 - 17x + 42}{x^2-4} = \frac{26}{3}$

$\frac{3x^2 + 56}{x^2 - 4} = \frac{26}{3}$

Решим уравнение с помощью пропорции:

$3 \cdot (3x^2 + 56) = 26 \cdot (x^2 - 4)$

$9x^2 + 168 = 26x^2 - 104$

$26x^2 - 9x^2 = 168 + 104$

$17x^2 = 272$

$x^2 = \frac{272}{17} = 16$

Корни уравнения: $x = \pm\sqrt{16}$, то есть $x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm2$).

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -4$.