Номер 2.47, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.47, страница 69.

2.47 а) $ \frac{x^2 - 5x}{2x + 1} = 0; $

б) $ \frac{x^2 + 4x}{2x + x^2} = 0; $

в) $ \frac{x^2 - 5x}{2x - 6} = 1; $

г) $ \frac{x^2 + 17x + 72}{x + 9} = -1. $

а) Дано уравнение $\frac{x^2 - 5x}{2x + 1} = 0$.
Дробное рациональное уравнение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это можно записать в виде системы:
$\begin{cases} x^2 - 5x = 0 \\ 2x + 1 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 5x = 0$
$x(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$.
Теперь решим неравенство из системы (проверим область допустимых значений):
$2x + 1 \neq 0$
$2x \neq -1$
$x \neq -0.5$
Оба найденных корня, $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$, удовлетворяют условию $x \neq -0.5$. Следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $0; 5$.

б) Дано уравнение $\frac{x^2 + 4x}{2x + x^2} = 0$.
Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$\begin{cases} x^2 + 4x = 0 \\ 2x + x^2 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$x^2 + 4x = 0$
$x(x + 4) = 0$
$x_1 = 0$ или $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$.
Проверим область допустимых значений:
$2x + x^2 \neq 0$
$x(2 + x) \neq 0$
$x \neq 0$ и $x \neq -2$.
Сравним найденные корни с ограничениями. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: $-4$.

в) Дано уравнение $\frac{x^2 - 5x}{2x - 6} = 1$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$2x - 6 \neq 0$
$2x \neq 6$
$x \neq 3$.
Теперь решим уравнение. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 - 5x}{2x - 6} - 1 = 0$
$\frac{x^2 - 5x - (2x - 6)}{2x - 6} = 0$
$\frac{x^2 - 5x - 2x + 6}{2x - 6} = 0$
$\frac{x^2 - 7x + 6}{2x - 6} = 0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (а знаменатель, как мы уже определили, не равен нулю).
$x^2 - 7x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета: сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$).
Ответ: $1; 6$.

г) Дано уравнение $\frac{x^2 + 17x + 72}{x + 9} = -1$.
Определим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x + 9 \neq 0$
$x \neq -9$.
Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 + 17x + 72}{x + 9} + 1 = 0$
$\frac{x^2 + 17x + 72 + (x + 9)}{x + 9} = 0$
$\frac{x^2 + 18x + 81}{x + 9} = 0$
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 18x + 81 = 0$
Заметим, что левая часть является полным квадратом суммы:
$(x + 9)^2 = 0$
$x + 9 = 0$
$x = -9$
Однако, согласно ОДЗ, $x \neq -9$. Найденный корень является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль. Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: корней нет.