Номер 2.40, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.5*. Корень многочлена. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.40, страница 65.

2.40 Определите, является ли число: a) 0; б) -1; в) 2; г) -2; д) 3; е) 1 корнем многочлена $P_5(x) = x^5 + 3x^4 - 5x^3 - 15x^2 + 4x + 12$. Какие множители содержит разложение многочлена $P_5(x)$ на множители? Выпишите все рациональные числа, среди которых следует искать корни многочлена $P_5(x)$. Какие из этих чисел являются корнями многочлена $P_5(x)$?

Дан многочлен $P_5(x) = x^5 + 3x^4 - 5x^3 - 15x^2 + 4x + 12$.

Чтобы определить, является ли число корнем многочлена, нужно подставить это число вместо $x$ и проверить, равен ли результат нулю.

а) 0;

Подставляем $x=0$ в многочлен:

$P_5(0) = 0^5 + 3 \cdot 0^4 - 5 \cdot 0^3 - 15 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + 12 = 12$.

Поскольку $P_5(0) \neq 0$, число 0 не является корнем многочлена.

Ответ: не является.

б) -1;

Подставляем $x=-1$ в многочлен:

$P_5(-1) = (-1)^5 + 3(-1)^4 - 5(-1)^3 - 15(-1)^2 + 4(-1) + 12 = -1 + 3(1) - 5(-1) - 15(1) - 4 + 12 = -1 + 3 + 5 - 15 - 4 + 12 = 0$.

Поскольку $P_5(-1) = 0$, число -1 является корнем многочлена.

Ответ: является.

в) 2;

Подставляем $x=2$ в многочлен:

$P_5(2) = 2^5 + 3(2)^4 - 5(2)^3 - 15(2)^2 + 4(2) + 12 = 32 + 3(16) - 5(8) - 15(4) + 8 + 12 = 32 + 48 - 40 - 60 + 8 + 12 = 0$.

Поскольку $P_5(2) = 0$, число 2 является корнем многочлена.

Ответ: является.

г) -2;

Подставляем $x=-2$ в многочлен:

$P_5(-2) = (-2)^5 + 3(-2)^4 - 5(-2)^3 - 15(-2)^2 + 4(-2) + 12 = -32 + 3(16) - 5(-8) - 15(4) - 8 + 12 = -32 + 48 + 40 - 60 - 8 + 12 = 0$.

Поскольку $P_5(-2) = 0$, число -2 является корнем многочлена.

Ответ: является.

д) 3;

Подставляем $x=3$ в многочлен:

$P_5(3) = 3^5 + 3(3)^4 - 5(3)^3 - 15(3)^2 + 4(3) + 12 = 243 + 3(81) - 5(27) - 15(9) + 12 + 12 = 243 + 243 - 135 - 135 + 12 + 12 = 240$.

Поскольку $P_5(3) \neq 0$, число 3 не является корнем многочлена.

Ответ: не является.

е) 1

Подставляем $x=1$ в многочлен:

$P_5(1) = 1^5 + 3(1)^4 - 5(1)^3 - 15(1)^2 + 4(1) + 12 = 1 + 3 - 5 - 15 + 4 + 12 = 0$.

Поскольку $P_5(1) = 0$, число 1 является корнем многочлена.

Ответ: является.

---

Какие множители содержит разложение многочлена $P_5(x)$ на множители?

Для нахождения всех множителей разложим многочлен $P_5(x)$. Сгруппируем слагаемые:

$P_5(x) = (x^5 + 3x^4) - (5x^3 + 15x^2) + (4x + 12)$

$P_5(x) = x^4(x + 3) - 5x^2(x + 3) + 4(x + 3)$

Вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$P_5(x) = (x + 3)(x^4 - 5x^2 + 4)$

Выражение в скобках является биквадратным уравнением. Разложим его на множители. Пусть $y = x^2$:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$. Тогда $y^2 - 5y + 4 = (y - 1)(y - 4)$.

Подставляя обратно $x^2$ вместо $y$, получаем:

$x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, полное разложение многочлена $P_5(x)$ на множители выглядит так:

$P_5(x) = (x + 3)(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: разложение многочлена содержит множители $(x+3)$, $(x-1)$, $(x+1)$, $(x-2)$ и $(x+2)$.

---

Выпишите все рациональные числа, среди которых следует искать корни многочлена $P_5(x)$.

Согласно теореме о рациональных корнях, если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень вида $p/q$ (где $p/q$ — несократимая дробь), то $p$ является делителем свободного члена, а $q$ — делителем старшего коэффициента.

В нашем многочлене $P_5(x) = x^5 + 3x^4 - 5x^3 - 15x^2 + 4x + 12$:

• Старший коэффициент $a_5 = 1$. Его целые делители $q$: $\pm1$.
• Свободный член $a_0 = 12$. Его целые делители $p$: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Возможные рациональные корни $p/q$ являются всеми целыми делителями числа 12.

Ответ: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

---

Какие из этих чисел являются корнями многочлена $P_5(x)$?

Из разложения многочлена на множители $P_5(x) = (x + 3)(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$ мы знаем, что его корни — это числа, которые обращают каждый из множителей в ноль.

• $x + 3 = 0 \implies x = -3$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$
• $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• $x - 2 = 0 \implies x = 2$
• $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Все эти корни (1, -1, 2, -2, -3) входят в список возможных рациональных корней, найденный в предыдущем пункте.

Ответ: корнями многочлена являются числа -3, -2, -1, 1, 2.