Страница 65 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.39° Что называют корнем многочлена $P_n(x), n \ge 1$?

Корнем (или нулём) многочлена $P_n(x)$ степени $n \ge 1$ называется такое значение переменной $x$, при котором значение многочлена обращается в ноль.

Пусть задан многочлен $n$-ой степени ($n \ge 1$) в общем виде:
$P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$,
где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — это числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a_n \neq 0$.

Число $c$ (которое может быть как действительным, так и комплексным) называется корнем многочлена $P_n(x)$, если при подстановке этого числа вместо $x$ многочлен обращается в ноль. Иными словами, если выполняется равенство:
$P_n(c) = a_n c^n + a_{n-1} c^{n-1} + \dots + a_1 c + a_0 = 0$.

Таким образом, задача нахождения всех корней многочлена $P_n(x)$ полностью эквивалентна решению алгебраического уравнения $P_n(x) = 0$.

Пример:
Рассмотрим многочлен второй степени $P_2(x) = x^2 - 5x + 6$. Чтобы найти его корни, необходимо решить уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Корнями этого квадратного уравнения являются числа $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Проверим это, подставив значения в многочлен:
Для $x = 2$: $P_2(2) = 2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.
Для $x = 3$: $P_2(3) = 3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
Поскольку в обоих случаях значение многочлена равно нулю, числа 2 и 3 являются корнями многочлена $P_2(x)$.

С понятием корня тесно связана теорема Безу, которая утверждает, что число $c$ является корнем многочлена тогда и только тогда, когда этот многочлен делится на двучлен $(x - c)$ без остатка.

Ответ: Корнем многочлена $P_n(x)$ называют такое число $c$, при подстановке которого в многочлен вместо переменной $x$ значение многочлена обращается в ноль, то есть выполняется равенство $P_n(c) = 0$.

2.40 Определите, является ли число: a) 0; б) -1; в) 2; г) -2; д) 3; е) 1 корнем многочлена $P_5(x) = x^5 + 3x^4 - 5x^3 - 15x^2 + 4x + 12$. Какие множители содержит разложение многочлена $P_5(x)$ на множители? Выпишите все рациональные числа, среди которых следует искать корни многочлена $P_5(x)$. Какие из этих чисел являются корнями многочлена $P_5(x)$?

Дан многочлен $P_5(x) = x^5 + 3x^4 - 5x^3 - 15x^2 + 4x + 12$.

Чтобы определить, является ли число корнем многочлена, нужно подставить это число вместо $x$ и проверить, равен ли результат нулю.

а) 0;

Подставляем $x=0$ в многочлен:

$P_5(0) = 0^5 + 3 \cdot 0^4 - 5 \cdot 0^3 - 15 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + 12 = 12$.

Поскольку $P_5(0) \neq 0$, число 0 не является корнем многочлена.

Ответ: не является.

б) -1;

Подставляем $x=-1$ в многочлен:

$P_5(-1) = (-1)^5 + 3(-1)^4 - 5(-1)^3 - 15(-1)^2 + 4(-1) + 12 = -1 + 3(1) - 5(-1) - 15(1) - 4 + 12 = -1 + 3 + 5 - 15 - 4 + 12 = 0$.

Поскольку $P_5(-1) = 0$, число -1 является корнем многочлена.

Ответ: является.

в) 2;

Подставляем $x=2$ в многочлен:

$P_5(2) = 2^5 + 3(2)^4 - 5(2)^3 - 15(2)^2 + 4(2) + 12 = 32 + 3(16) - 5(8) - 15(4) + 8 + 12 = 32 + 48 - 40 - 60 + 8 + 12 = 0$.

Поскольку $P_5(2) = 0$, число 2 является корнем многочлена.

Ответ: является.

г) -2;

Подставляем $x=-2$ в многочлен:

$P_5(-2) = (-2)^5 + 3(-2)^4 - 5(-2)^3 - 15(-2)^2 + 4(-2) + 12 = -32 + 3(16) - 5(-8) - 15(4) - 8 + 12 = -32 + 48 + 40 - 60 - 8 + 12 = 0$.

Поскольку $P_5(-2) = 0$, число -2 является корнем многочлена.

Ответ: является.

д) 3;

Подставляем $x=3$ в многочлен:

$P_5(3) = 3^5 + 3(3)^4 - 5(3)^3 - 15(3)^2 + 4(3) + 12 = 243 + 3(81) - 5(27) - 15(9) + 12 + 12 = 243 + 243 - 135 - 135 + 12 + 12 = 240$.

Поскольку $P_5(3) \neq 0$, число 3 не является корнем многочлена.

Ответ: не является.

е) 1

Подставляем $x=1$ в многочлен:

$P_5(1) = 1^5 + 3(1)^4 - 5(1)^3 - 15(1)^2 + 4(1) + 12 = 1 + 3 - 5 - 15 + 4 + 12 = 0$.

Поскольку $P_5(1) = 0$, число 1 является корнем многочлена.

Ответ: является.

Какие множители содержит разложение многочлена $P_5(x)$ на множители?

Для нахождения всех множителей разложим многочлен $P_5(x)$. Сгруппируем слагаемые:

$P_5(x) = (x^5 + 3x^4) - (5x^3 + 15x^2) + (4x + 12)$

$P_5(x) = x^4(x + 3) - 5x^2(x + 3) + 4(x + 3)$

Вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$P_5(x) = (x + 3)(x^4 - 5x^2 + 4)$

Выражение в скобках является биквадратным уравнением. Разложим его на множители. Пусть $y = x^2$:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$. Тогда $y^2 - 5y + 4 = (y - 1)(y - 4)$.

Подставляя обратно $x^2$ вместо $y$, получаем:

$x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, полное разложение многочлена $P_5(x)$ на множители выглядит так:

$P_5(x) = (x + 3)(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: разложение многочлена содержит множители $(x+3)$, $(x-1)$, $(x+1)$, $(x-2)$ и $(x+2)$.

Выпишите все рациональные числа, среди которых следует искать корни многочлена $P_5(x)$.

Согласно теореме о рациональных корнях, если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень вида $p/q$ (где $p/q$ — несократимая дробь), то $p$ является делителем свободного члена, а $q$ — делителем старшего коэффициента.

В нашем многочлене $P_5(x) = x^5 + 3x^4 - 5x^3 - 15x^2 + 4x + 12$:

• Старший коэффициент $a_5 = 1$. Его целые делители $q$: $\pm1$.
• Свободный член $a_0 = 12$. Его целые делители $p$: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Возможные рациональные корни $p/q$ являются всеми целыми делителями числа 12.

Ответ: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Какие из этих чисел являются корнями многочлена $P_5(x)$?

Из разложения многочлена на множители $P_5(x) = (x + 3)(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$ мы знаем, что его корни — это числа, которые обращают каждый из множителей в ноль.

• $x + 3 = 0 \implies x = -3$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$
• $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• $x - 2 = 0 \implies x = 2$
• $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Все эти корни (1, -1, 2, -2, -3) входят в список возможных рациональных корней, найденный в предыдущем пункте.

Ответ: корнями многочлена являются числа -3, -2, -1, 1, 2.

Разложите многочлен $P(x)$ на линейные множители, если это возможно (2.41–2.42):

2.41

а) $P(x) = 2x^3 - x^2 - 8x + 4$;

б) $P(x) = 3x^3 - x^2 - 6x + 2$;

в) $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$;

г) $P(x) = 2x^3 - 8x^2 + x - 4$.

а)

Дан многочлен $P(x) = 2x^3 - x^2 - 8x + 4$.

Для разложения многочлена на линейные множители воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$P(x) = (2x^3 - x^2) + (-8x + 4)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$P(x) = x^2(2x - 1) - 4(2x - 1)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(2x - 1)$:

$P(x) = (2x - 1)(x^2 - 4)$

Выражение в скобках $x^2 - 4$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Подставляя это в наше выражение, получаем окончательное разложение многочлена на линейные множители:

$P(x) = (2x - 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $P(x) = (2x - 1)(x - 2)(x + 2)$.

б)

Дан многочлен $P(x) = 3x^3 - x^2 - 6x + 2$.

Применим метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые:

$P(x) = (3x^3 - x^2) + (-6x + 2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$P(x) = x^2(3x - 1) - 2(3x - 1)$

Вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:

$P(x) = (3x - 1)(x^2 - 2)$

Выражение $x^2 - 2$ можно разложить как разность квадратов, представив 2 как $(\sqrt{2})^2$:

$x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

Таким образом, получаем разложение исходного многочлена на линейные множители:

$P(x) = (3x - 1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

Ответ: $P(x) = (3x - 1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.

в)

Дан многочлен $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$.

Воспользуемся методом группировки:

$P(x) = (2x^3 - 3x^2) + (2x - 3)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$P(x) = x^2(2x - 3) + 1(2x - 3)$

Вынесем общий множитель $(2x - 3)$:

$P(x) = (2x - 3)(x^2 + 1)$

Для разложения на линейные множители необходимо разложить и множитель $x^2 + 1$. Если мы рассматриваем разложение в поле действительных чисел, то многочлен $x^2 + 1$ не имеет действительных корней и является неприводимым. Однако, если допускаются комплексные числа, то разложение возможно. Корнями уравнения $x^2 + 1 = 0$ являются $x = i$ и $x = -i$. Тогда:

$x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$

Подставляя это в наше выражение, получаем полное разложение на линейные множители в поле комплексных чисел:

$P(x) = (2x - 3)(x - i)(x + i)$

Ответ: $P(x) = (2x - 3)(x - i)(x + i)$.

г)

Дан многочлен $P(x) = 2x^3 - 8x^2 + x - 4$.

Сгруппируем слагаемые:

$P(x) = (2x^3 - 8x^2) + (x - 4)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$P(x) = 2x^2(x - 4) + 1(x - 4)$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$:

$P(x) = (x - 4)(2x^2 + 1)$

Рассмотрим множитель $2x^2 + 1$. Чтобы разложить его на линейные множители, нужно найти корни уравнения $2x^2 + 1 = 0$. Это уравнение не имеет действительных корней. В поле комплексных чисел корнями являются $x = \pm\sqrt{-1/2} = \pm \frac{i}{\sqrt{2}} = \pm \frac{i\sqrt{2}}{2}$.

Тогда множитель $2x^2 + 1$ раскладывается следующим образом:

$2x^2 + 1 = 2(x^2 + 1/2) = 2(x - \frac{i\sqrt{2}}{2})(x + \frac{i\sqrt{2}}{2})$

Следовательно, полное разложение многочлена на линейные множители имеет вид:

$P(x) = 2(x - 4)(x - \frac{i\sqrt{2}}{2})(x + \frac{i\sqrt{2}}{2})$

Ответ: $P(x) = 2(x - 4)(x - \frac{i\sqrt{2}}{2})(x + \frac{i\sqrt{2}}{2})$.

2.42 а) $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$;

б) $P(x) = x^4 - 8x^2 - 9$;

В) $P(x) = x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6$;

Г) $P(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x - 8$.

а) $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$

Данный многочлен является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Тогда многочлен примет вид:

$y^2 - 5y + 4$

Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители: $(y - 1)(y - 4)$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $x^2$ вместо $y$:

$P(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Оба множителя являются разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, окончательное разложение многочлена на множители имеет вид:

$P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

б) $P(x) = x^4 - 8x^2 - 9$

Это также биквадратный многочлен. Сделаем замену $y = x^2$. Получим квадратный трехчлен:

$y^2 - 8y - 9$

Найдем корни уравнения $y^2 - 8y - 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно -9. Корни: $y_1 = 9$ и $y_2 = -1$.

Разложим на множители: $(y - 9)(y - (-1)) = (y - 9)(y + 1)$.

Произведем обратную замену $y = x^2$:

$P(x) = (x^2 - 9)(x^2 + 1)$

Первый множитель $x^2 - 9$ является разностью квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Второй множитель $x^2 + 1$ не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители в поле действительных чисел.

Следовательно, разложение многочлена:

$P(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 1)$

Ответ: $P(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 1)$.

в) $P(x) = x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6$

Для разложения этого многочлена на множители найдем его целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена, равного -6.

Делители числа -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим их поочередно, подставляя в многочлен:

$P(1) = 1^4 - 5(1)^3 + 5(1)^2 + 5(1) - 6 = 1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем, и $(x-1)$ — один из множителей.

$P(-1) = (-1)^4 - 5(-1)^3 + 5(-1)^2 + 5(-1) - 6 = 1 + 5 + 5 - 5 - 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем, и $(x+1)$ — множитель.

$P(2) = 2^4 - 5(2)^3 + 5(2)^2 + 5(2) - 6 = 16 - 40 + 20 + 10 - 6 = 0$. Значит, $x = 2$ является корнем, и $(x-2)$ — множитель.

$P(3) = 3^4 - 5(3)^3 + 5(3)^2 + 5(3) - 6 = 81 - 135 + 45 + 15 - 6 = 0$. Значит, $x = 3$ является корнем, и $(x-3)$ — множитель.

Мы нашли четыре корня многочлена четвертой степени: 1, -1, 2, 3. Так как старший коэффициент равен 1, разложение многочлена имеет вид:

$P(x) = (x - 1)(x - (-1))(x - 2)(x - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)$

Ответ: $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)$.

г) $P(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x - 8$

Заметим, что этот многочлен можно сгруппировать. Перепишем его, выделив полный квадрат:

$P(x) = (x^4 + 2x^3 + x^2) + (2x^2 + 2x) - 8$

Сгруппируем первые три слагаемых и вынесем общий множитель из следующих двух:

$P(x) = (x^2 + x)^2 + 2(x^2 + x) - 8$

Сделаем замену переменной $z = x^2 + x$. Многочлен примет вид квадратного трехчлена относительно $z$:

$z^2 + 2z - 8$

Найдем корни уравнения $z^2 + 2z - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -8. Корни: $z_1 = 2$ и $z_2 = -4$.

Разложим на множители: $(z - 2)(z - (-4)) = (z - 2)(z + 4)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 + x$ вместо $z$:

$P(x) = (x^2 + x - 2)(x^2 + x + 4)$

Разложим на множители первый квадратный трехчлен $x^2 + x - 2$. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ — это $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

Рассмотрим второй квадратный трехчлен $x^2 + x + 4$. Найдем его дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как дискриминант отрицательный, этот трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на множители в поле действительных чисел.

Таким образом, окончательное разложение многочлена:

$P(x) = (x - 1)(x + 2)(x^2 + x + 4)$

Ответ: $P(x) = (x - 1)(x + 2)(x^2 + x + 4)$.

2.43 Найдите все корни многочлена $P(x)$, если:

a) Многочлен $P(x) = x^3 - 5x^2 + ax + b$ делится на $x - 3$ без остатка, а при делении на $x + 3$ даёт остаток $-42$.

б) Многочлен $P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 1$ делится на $x + 1$ без остатка, а при делении на $x + 2$ даёт остаток $-15$.

в) Многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 16$ делится на $x - 4$ без остатка, а при делении на $x + 1$ даёт остаток $15$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу: остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$. Если многочлен делится на $x-c$ без остатка, то $P(c) = 0$, и $c$ является корнем многочлена.

Дан многочлен $P(x) = x^3 - 5x^2 + ax + b$.

По условию, $P(x)$ делится на $x-3$ без остатка. Следовательно, $P(3) = 0$.

$P(3) = 3^3 - 5 \cdot 3^2 + a \cdot 3 + b = 27 - 5 \cdot 9 + 3a + b = 27 - 45 + 3a + b = -18 + 3a + b$.

Получаем первое уравнение: $3a + b - 18 = 0$, или $3a + b = 18$.

Также по условию, при делении $P(x)$ на $x+3$ остаток равен -42. Следовательно, $P(-3) = -42$.

$P(-3) = (-3)^3 - 5 \cdot (-3)^2 + a \cdot (-3) + b = -27 - 5 \cdot 9 - 3a + b = -27 - 45 - 3a + b = -72 - 3a + b$.

Получаем второе уравнение: $-72 - 3a + b = -42$, или $-3a + b = 30$.

Теперь решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 3a + b = 18 \\ -3a + b = 30 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(3a + b) + (-3a + b) = 18 + 30$, что дает $2b = 48$, откуда $b = 24$.

Подставим $b=24$ в первое уравнение: $3a + 24 = 18$, откуда $3a = -6$ и $a = -2$.

Таким образом, многочлен имеет вид: $P(x) = x^3 - 5x^2 - 2x + 24$.

Мы знаем, что $x_1 = 3$ является корнем. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $P(x)$ на $x-3$ (например, столбиком или по схеме Горнера).

$(x^3 - 5x^2 - 2x + 24) : (x - 3) = x^2 - 2x - 8$.

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета: $x_2 + x_3 = 2$ и $x_2 \cdot x_3 = -8$. Подбором находим корни $x_2 = 4$ и $x_3 = -2$.

Итак, все корни многочлена: 3, 4, -2.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3, x_3 = 4$.

Дан многочлен $P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 1$.

По условию, $P(x)$ делится на $x+1$ без остатка. Следовательно, $P(-1) = 0$.

$P(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 1 = -2 + a - b + 1 = a - b - 1$.

Получаем первое уравнение: $a - b - 1 = 0$, или $a - b = 1$.

При делении $P(x)$ на $x+2$ остаток равен -15. Следовательно, $P(-2) = -15$.

$P(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + 1 = 2(-8) + 4a - 2b + 1 = -16 + 4a - 2b + 1 = 4a - 2b - 15$.

Получаем второе уравнение: $4a - 2b - 15 = -15$, или $4a - 2b = 0$, что эквивалентно $2a - b = 0$.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} a - b = 1 \\ 2a - b = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения $b = 2a$. Подставим это в первое уравнение: $a - 2a = 1$, откуда $-a=1$, и $a=-1$.

Тогда $b = 2a = 2(-1) = -2$.

Многочлен имеет вид: $P(x) = 2x^3 - x^2 - 2x + 1$.

Мы знаем, что $x_1 = -1$ является корнем. Разделим $P(x)$ на $x+1$:

$(2x^3 - x^2 - 2x + 1) : (x + 1) = 2x^2 - 3x + 1$.

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.

$x_2 = \frac{3+1}{4} = 1$, $x_3 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$.

Итак, все корни многочлена: -1, 1, 1/2.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \frac{1}{2}, x_3 = 1$.

Дан многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 16$.

По условию, $P(x)$ делится на $x-4$ без остатка. Следовательно, $P(4) = 0$.

$P(4) = 4^3 + a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 16 = 64 + 16a + 4b + 16 = 16a + 4b + 80$.

Получаем первое уравнение: $16a + 4b + 80 = 0$, разделив на 4, получим $4a + b + 20 = 0$, или $4a + b = -20$.

При делении $P(x)$ на $x+1$ остаток равен 15. Следовательно, $P(-1) = 15$.

$P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 16 = -1 + a - b + 16 = a - b + 15$.

Получаем второе уравнение: $a - b + 15 = 15$, или $a - b = 0$, откуда $a=b$.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 4a + b = -20 \\ a = b \end{cases}$

Подставим $b=a$ в первое уравнение: $4a + a = -20$, откуда $5a = -20$ и $a=-4$.

Так как $a=b$, то $b=-4$.

Многочлен имеет вид: $P(x) = x^3 - 4x^2 - 4x + 16$.

Мы знаем, что $x_1 = 4$ является корнем. Для поиска остальных корней разложим многочлен на множители методом группировки:

$P(x) = (x^3 - 4x^2) - (4x - 16) = x^2(x - 4) - 4(x - 4) = (x^2 - 4)(x - 4)$.

Приравниваем к нулю: $(x^2 - 4)(x - 4) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$.

$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 2$.

Итак, все корни многочлена: 4, 2, -2.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2, x_3 = 4$.