Номер 2.39, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.5*. Корень многочлена - номер 2.39, страница 65.

Условие.

2.39° Что называют корнем многочлена $P_n(x), n \ge 1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Корнем (или нулём) многочлена $P_n(x)$ степени $n \ge 1$ называется такое значение переменной $x$, при котором значение многочлена обращается в ноль.

Пусть задан многочлен $n$-ой степени ($n \ge 1$) в общем виде:
$P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$,
где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — это числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a_n \neq 0$.

Число $c$ (которое может быть как действительным, так и комплексным) называется корнем многочлена $P_n(x)$, если при подстановке этого числа вместо $x$ многочлен обращается в ноль. Иными словами, если выполняется равенство:
$P_n(c) = a_n c^n + a_{n-1} c^{n-1} + \dots + a_1 c + a_0 = 0$.

Таким образом, задача нахождения всех корней многочлена $P_n(x)$ полностью эквивалентна решению алгебраического уравнения $P_n(x) = 0$.

Пример:
Рассмотрим многочлен второй степени $P_2(x) = x^2 - 5x + 6$. Чтобы найти его корни, необходимо решить уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Корнями этого квадратного уравнения являются числа $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Проверим это, подставив значения в многочлен:
Для $x = 2$: $P_2(2) = 2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.
Для $x = 3$: $P_2(3) = 3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
Поскольку в обоих случаях значение многочлена равно нулю, числа 2 и 3 являются корнями многочлена $P_2(x)$.

С понятием корня тесно связана теорема Безу, которая утверждает, что число $c$ является корнем многочлена тогда и только тогда, когда этот многочлен делится на двучлен $(x - c)$ без остатка.

Ответ: Корнем многочлена $P_n(x)$ называют такое число $c$, при подстановке которого в многочлен вместо переменной $x$ значение многочлена обращается в ноль, то есть выполняется равенство $P_n(c) = 0$.