Номер 2.35, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.4*. Теорема Безу - номер 2.35, страница 60.

Условие.

2.35 С помощью теоремы Безу найдите остаток от деления многочлена:

a) $3x^3 - 2x^2 - 4x - 5$ на $x - 1$; на $x - 2$; на $x - 3$;

б) $x^4 + 2x^3 + x^2 + 5$ на $x - (-1)$; на $x + 2$; на $x + 3$;

в) $x^4 - 16$ на $x + 2$; на $x - 2$; на $x + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для многочлена $P(x) = 3x^3 - 2x^2 - 4x - 5$:

1. При делении на $(x - 1)$, по теореме Безу, остаток равен значению многочлена в точке $x=1$.
$R_1 = P(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 - 4(1) - 5 = 3 - 2 - 4 - 5 = -8$.

2. При делении на $(x - 2)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=2$.
$R_2 = P(2) = 3(2)^3 - 2(2)^2 - 4(2) - 5 = 3 \cdot 8 - 2 \cdot 4 - 8 - 5 = 24 - 8 - 8 - 5 = 3$.

3. При делении на $(x - 3)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=3$.
$R_3 = P(3) = 3(3)^3 - 2(3)^2 - 4(3) - 5 = 3 \cdot 27 - 2 \cdot 9 - 12 - 5 = 81 - 18 - 12 - 5 = 46$.

Ответ: при делении на $(x - 1)$, $(x - 2)$ и $(x - 3)$ остатки равны $-8$, $3$ и $46$ соответственно.

б) Для многочлена $P(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 + 5$:

1. При делении на $x - (-1) = x+1$, остаток равен значению многочлена в точке $x=-1$.
$R_1 = P(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 + (-1)^2 + 5 = 1 - 2 + 1 + 5 = 5$.

2. При делении на $x + 2 = x - (-2)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=-2$.
$R_2 = P(-2) = (-2)^4 + 2(-2)^3 + (-2)^2 + 5 = 16 - 16 + 4 + 5 = 9$.

3. При делении на $x + 3 = x - (-3)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=-3$.
$R_3 = P(-3) = (-3)^4 + 2(-3)^3 + (-3)^2 + 5 = 81 - 54 + 9 + 5 = 41$.

Ответ: при делении на $x - (-1)$, $x+2$ и $x+3$ остатки равны $5$, $9$ и $41$ соответственно.

в) Для многочлена $P(x) = x^4 - 16$:

1. При делении на $x + 2 = x - (-2)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=-2$.
$R_1 = P(-2) = (-2)^4 - 16 = 16 - 16 = 0$.

2. При делении на $(x - 2)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=2$.
$R_2 = P(2) = 2^4 - 16 = 16 - 16 = 0$.

3. При делении на $x + 1 = x - (-1)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=-1$.
$R_3 = P(-1) = (-1)^4 - 16 = 1 - 16 = -15$.

Ответ: при делении на $x+2$, $(x-2)$ и $x+1$ остатки равны $0$, $0$ и $-15$ соответственно.