Номер 2.31, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.3*. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.31, страница 57.

2.31 Докажите, что дробь несократима:

а) $ \frac{x^4 + 1}{x^3 + 1} $;

б) $ \frac{x^3 + 9}{x^2 - 1} $.

а) Чтобы доказать, что дробь $\frac{x^4+1}{x^3+1}$ несократима, нужно показать, что её числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме констант. Для этого мы найдем их наибольший общий делитель (НОД) с помощью алгоритма Евклида для многочленов.

Пусть $P(x) = x^4+1$ и $Q(x) = x^3+1$.

1. Разделим $P(x)$ на $Q(x)$ с остатком. Деление многочленов "уголком" дает:
$x^4+1 = x \cdot (x^3+1) + (-x+1)$
Первый остаток: $R_1(x) = -x+1$.

2. Теперь разделим предыдущий делитель $Q(x)$ на полученный остаток $R_1(x)$:
$x^3+1 = (-x^2-x-1) \cdot (-x+1) + 2$
Второй остаток: $R_2(x) = 2$.

Поскольку последний ненулевой остаток является константой (число 2), это означает, что НОД многочленов $x^4+1$ и $x^3+1$ равен 2. Так как НОД — константа, у многочленов нет общих нетривиальных множителей (многочленов степени больше нуля), и, следовательно, дробь является несократимой.
Ответ: Дробь несократима.

б) Аналогично докажем несократимость дроби $\frac{x^3+9}{x^2-1}$. Воспользуемся алгоритмом Евклида для нахождения НОД числителя $P(x) = x^3+9$ и знаменателя $Q(x) = x^2-1$.

1. Разделим $P(x)$ на $Q(x)$ с остатком:
$x^3+9 = x \cdot (x^2-1) + (x+9)$
Первый остаток: $R_1(x) = x+9$.

2. Разделим предыдущий делитель $Q(x)$ на остаток $R_1(x)$:
$x^2-1 = (x-9) \cdot (x+9) + 80$
Второй остаток: $R_2(x) = 80$.

Последний ненулевой остаток — это константа 80. Следовательно, НОД многочленов $x^3+9$ и $x^2-1$ равен 80. Так как НОД является константой, многочлены не имеют общих нетривиальных делителей, и дробь несократима.
Ответ: Дробь несократима.