Номер 2.25, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.25, страница 53.

2.25* Сократите дробь:

а) $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$;

б) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$;

в) $\frac{a^5 - b^5}{a^3 - b^3}$;

г) $\frac{a^5 + b^5}{a^7 + b^7}$;

д) $\frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{a^4 - b^4}$;

е) $\frac{a^5 + b^5}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$;

ж) $\frac{a^3 - 8}{a^4 - 16}$;

з) $\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9}$;

и) $\frac{a^5 - 32}{a^3 - 8}$;

к) $\frac{a^5 + 32}{a^7 + 128}$;

л) $\frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 16}$;

м) $\frac{a^5 + 1}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$.

а) Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Знаменатель — разность квадратов: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
$\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$:
$\frac{a^2 + ab + b^2}{(a + b)(a^2 + b^2)}$
Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{(a + b)(a^2 + b^2)}$

б) Разложим числитель по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
$\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$:
$a + b$
Ответ: $a + b$

в) Разложим числитель и знаменатель на множители по формулам разности степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
$a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$\frac{a^5 - b^5}{a^3 - b^3} = \frac{(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$
Сократим дробь на $(a - b)$:
$\frac{a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4}{a^2 + ab + b^2}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4}{a^2 + ab + b^2}$

г) Разложим числитель и знаменатель по формулам суммы нечетных степеней: $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ для нечетных $n$.
$a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$
$a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)$
$\frac{a^5 + b^5}{a^7 + b^7} = \frac{(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)}{(a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)}$
Сократим дробь на $(a + b)$:
$\frac{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}{a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6}$
Ответ: $\frac{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}{a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6}$

д) Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим метод группировки:
$a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 = a^2(a + b) + b^2(a + b) = (a^2 + b^2)(a + b)$
Знаменатель — разность квадратов: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
$\frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{a^4 - b^4} = \frac{(a^2 + b^2)(a + b)}{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}$
Сократим дробь на общие множители $(a^2 + b^2)$ и $(a + b)$:
$\frac{1}{a - b}$
Ответ: $\frac{1}{a - b}$

е) Разложим числитель по формуле суммы пятых степеней: $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
$\frac{a^5 + b^5}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4} = \frac{(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$
Сократим дробь на общий множитель $(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$:
$a + b$
Ответ: $a + b$

ж) Разложим числитель и знаменатель на множители, представив $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$.
Числитель — разность кубов: $a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Знаменатель — разность квадратов: $a^4 - 16 = a^4 - 2^4 = (a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
$\frac{a^3 - 8}{a^4 - 16} = \frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a - 2)$:
$\frac{a^2 + 2a + 4}{(a + 2)(a^2 + 4)}$
Ответ: $\frac{a^2 + 2a + 4}{(a + 2)(a^2 + 4)}$

з) Разложим числитель на множители по формуле суммы кубов: $a^3 + 27 = a^3 + 3^3 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$. В знаменателе $a^4 - 3a + 9$ нет множителей, совпадающих с множителями числителя, поэтому в исходном виде дробь не сокращается. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и знаменатель должен быть $a^2 - 3a + 9$. При таком условии решение будет следующим:
$\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9} = \frac{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}{a^2 - 3a + 9}$
Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - 3a + 9)$:
$a + 3$
Ответ: $a + 3$

и) Разложим числитель и знаменатель на множители, представив $32 = 2^5$ и $8 = 2^3$.
$a^5 - 32 = a^5 - 2^5 = (a - 2)(a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16)$
$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$
$\frac{a^5 - 32}{a^3 - 8} = \frac{(a - 2)(a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$
Сократим дробь на $(a - 2)$:
$\frac{a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16}{a^2 + 2a + 4}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16}{a^2 + 2a + 4}$

к) Разложим числитель и знаменатель на множители, представив $32 = 2^5$ и $128 = 2^7$.
$a^5 + 32 = a^5 + 2^5 = (a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)$
$a^7 + 128 = a^7 + 2^7 = (a + 2)(a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64)$
$\frac{a^5 + 32}{a^7 + 128} = \frac{(a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)}{(a + 2)(a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64)}$
Сократим дробь на $(a + 2)$:
$\frac{a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16}{a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64}$
Ответ: $\frac{a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16}{a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64}$

л) Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим метод группировки:
$a^3 + 2a^2 + 4a + 8 = a^2(a + 2) + 4(a + 2) = (a^2 + 4)(a + 2)$
Знаменатель — разность квадратов: $a^4 - 16 = (a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
$\frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 16} = \frac{(a^2 + 4)(a + 2)}{(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)}$
Сократим дробь на общие множители $(a^2 + 4)$ и $(a + 2)$:
$\frac{1}{a - 2}$
Ответ: $\frac{1}{a - 2}$

м) Разложим числитель по формуле суммы пятых степеней: $a^5 + 1 = a^5 + 1^5 = (a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$.
$\frac{a^5 + 1}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1} = \frac{(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$
Сократим дробь на общий множитель $(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$:
$a + 1$
Ответ: $a + 1$