Номер 2.22, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней - номер 2.22, страница 53.

Условие.

2.22 Упростите выражение:

а) $(a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3;$

б) $(a + b)^3 + (a - b)^3 - 2a^3;$

в) $(a + b)^3 - (a^3 + b^3);$

г) $(a - b)^3 + (b^3 - a^3).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:
Куб суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Куб разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$(a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) - 2b^3$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 - 2b^3$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^3 - a^3) + (3a^2b + 3a^2b) + (3ab^2 - 3ab^2) + (b^3 + b^3 - 2b^3) = 0 + 6a^2b + 0 + (2b^3 - 2b^3) = 6a^2b$
Ответ: $6a^2b$

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулы куба суммы и куба разности:
$(a + b)^3 + (a - b)^3 - 2a^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) - 2a^3$
Раскроем скобки:
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 - 2a^3$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^3 + a^3 - 2a^3) + (3a^2b - 3a^2b) + (3ab^2 + 3ab^2) + (b^3 - b^3) = (2a^3 - 2a^3) + 0 + 6ab^2 + 0 = 6ab^2$
Ответ: $6ab^2$

в) Используем формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и подставим ее в выражение:
$(a + b)^3 - (a^3 + b^3) = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 + b^3)$
Раскроем скобки:
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 - b^3$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^3 - a^3) + (b^3 - b^3) + 3a^2b + 3ab^2 = 0 + 0 + 3a^2b + 3ab^2 = 3a^2b + 3ab^2$
Ответ: $3a^2b + 3ab^2$

г) Используем формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и подставим ее в выражение:
$(a - b)^3 + (b^3 - a^3) = (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (b^3 - a^3)$
Раскроем скобки:
$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + b^3 - a^3$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^3 - a^3) + (-b^3 + b^3) - 3a^2b + 3ab^2 = 0 + 0 - 3a^2b + 3ab^2 = 3ab^2 - 3a^2b$
Ответ: $3ab^2 - 3a^2b$