Номер 2.17, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.17, страница 52.

2.17 Напишите разложение по формуле бинома Ньютона:

а) $(a + x)^5$;

б) $(a + x)^6$;

в) $(a + x)^7$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} x^k = C_n^0 a^n x^0 + C_n^1 a^{n-1} x^1 + C_n^2 a^{n-2} x^2 + \dots + C_n^n a^0 x^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

а) $(a + x)^5$

В данном случае показатель степени $n=5$. Разложение по формуле бинома Ньютона будет иметь вид:

$(a+x)^5 = C_5^0 a^5 + C_5^1 a^4 x + C_5^2 a^3 x^2 + C_5^3 a^2 x^3 + C_5^4 a x^4 + C_5^5 x^5$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_5^k$:

$C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1$

$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5$

$C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = 1$

Подставив найденные коэффициенты, получим разложение:

$(a+x)^5 = 1 \cdot a^5 + 5 \cdot a^4 x + 10 \cdot a^3 x^2 + 10 \cdot a^2 x^3 + 5 \cdot a x^4 + 1 \cdot x^5$

Ответ: $(a+x)^5 = a^5 + 5a^4x + 10a^3x^2 + 10a^2x^3 + 5ax^4 + x^5$

б) $(a + x)^6$

Здесь показатель степени $n=6$. Разложение по формуле бинома Ньютона будет иметь вид:

$(a+x)^6 = C_6^0 a^6 + C_6^1 a^5 x + C_6^2 a^4 x^2 + C_6^3 a^3 x^3 + C_6^4 a^2 x^4 + C_6^5 a x^5 + C_6^6 x^6$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_6^k$:

$C_6^0 = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$C_6^4 = \frac{6!}{4!2!} = 15$

$C_6^5 = \frac{6!}{5!1!} = 6$

$C_6^6 = 1$

Подставив найденные коэффициенты, получим разложение:

$(a+x)^6 = 1 \cdot a^6 + 6 \cdot a^5 x + 15 \cdot a^4 x^2 + 20 \cdot a^3 x^3 + 15 \cdot a^2 x^4 + 6 \cdot a x^5 + 1 \cdot x^6$

Ответ: $(a+x)^6 = a^6 + 6a^5x + 15a^4x^2 + 20a^3x^3 + 15a^2x^4 + 6ax^5 + x^6$

в) $(a + x)^7$

Здесь показатель степени $n=7$. Разложение по формуле бинома Ньютона будет иметь вид:

$(a+x)^7 = C_7^0 a^7 + C_7^1 a^6 x + C_7^2 a^5 x^2 + C_7^3 a^4 x^3 + C_7^4 a^3 x^4 + C_7^5 a^2 x^5 + C_7^6 a x^6 + C_7^7 x^7$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_7^k$:

$C_7^0 = 1$

$C_7^1 = \frac{7!}{1!6!} = 7$

$C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$

$C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

$C_7^4 = \frac{7!}{4!3!} = 35$

$C_7^5 = \frac{7!}{5!2!} = 21$

$C_7^6 = \frac{7!}{6!1!} = 7$

$C_7^7 = 1$

Подставив найденные коэффициенты, получим разложение:

$(a+x)^7 = 1 \cdot a^7 + 7 \cdot a^6 x + 21 \cdot a^5 x^2 + 35 \cdot a^4 x^3 + 35 \cdot a^3 x^4 + 21 \cdot a^2 x^5 + 7 \cdot a x^6 + 1 \cdot x^7$

Ответ: $(a+x)^7 = a^7 + 7a^6x + 21a^5x^2 + 35a^4x^3 + 35a^3x^4 + 21a^2x^5 + 7ax^6 + x^7$