Номер 2.11, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.11, страница 48.

2.11* Является ли симметрическим многочлен:

а) $a^2 + 2ab + b^2$;

б) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$;

в) $5a^2 + 5b^2 - 3a^3 - 3b^3 + 4ab$;

г) $2a^2 + 3b^2 - 4a^3 - 5b^3 + 6ab$;

д) $a^2b^2c^2 - 3abc + a + b + c + 1$;

е) $abc - 4a + 4b - 4c + 1?$

Симметрический многочлен — это многочлен, который не изменяется при любой перестановке своих переменных. Чтобы проверить, является ли многочлен симметрическим, достаточно проверить, изменится ли он, если поменять местами любые две переменные.

а) Рассмотрим многочлен $P(a, b) = a^2 + 2ab + b^2$.

Поменяем местами переменные $a$ и $b$:

$P(b, a) = b^2 + 2ba + a^2$

Поскольку умножение и сложение коммутативны, мы можем переписать это выражение как:

$P(b, a) = a^2 + 2ab + b^2$

Так как $P(a, b) = P(b, a)$, многочлен является симметрическим. Также этот многочлен является полным квадратом суммы $(a+b)^2$.

Ответ: да.

б) Рассмотрим многочлен $P(a, b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Поменяем местами переменные $a$ и $b$:

$P(b, a) = b^3 + 3b^2a + 3ba^2 + a^3$

Перегруппировав слагаемые, получим:

$P(b, a) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Так как $P(a, b) = P(b, a)$, многочлен является симметрическим. Этот многочлен также является кубом суммы $(a+b)^3$.

Ответ: да.

в) Рассмотрим многочлен $P(a, b) = 5a^2 + 5b^2 - 3a^3 - 3b^3 + 4ab$.

Поменяем местами переменные $a$ и $b$:

$P(b, a) = 5b^2 + 5a^2 - 3b^3 - 3a^3 + 4ba$

Перегруппировав слагаемые, получим:

$P(b, a) = 5a^2 + 5b^2 - 3a^3 - 3b^3 + 4ab$

Так как $P(a, b) = P(b, a)$, многочлен является симметрическим.

Ответ: да.

г) Рассмотрим многочлен $P(a, b) = 2a^2 + 3b^2 - 4a^3 - 5b^3 + 6ab$.

Поменяем местами переменные $a$ и $b$:

$P(b, a) = 2b^2 + 3a^2 - 4b^3 - 5a^3 + 6ba$

Сравним полученный многочлен с исходным. Коэффициент при $a^2$ в $P(a, b)$ равен 2, а в $P(b, a)$ он равен 3. Коэффициент при $b^2$ в $P(a, b)$ равен 3, а в $P(b, a)$ он равен 2. Поскольку коэффициенты при соответствующих степенях переменных не совпадают ($2 \neq 3$), многочлен $P(a, b)$ не равен $P(b, a)$.

Следовательно, многочлен не является симметрическим.

Ответ: нет.

д) Рассмотрим многочлен от трех переменных $P(a, b, c) = a^2b^2c^2 - 3abc + a + b + c + 1$.

Проверим, изменится ли многочлен при перестановке переменных, например, $a$ и $b$.

$P(b, a, c) = b^2a^2c^2 - 3bac + b + a + c + 1$

Используя коммутативность умножения и сложения, получаем:

$P(b, a, c) = a^2b^2c^2 - 3abc + a + b + c + 1 = P(a, b, c)$

Аналогично, при любой другой перестановке переменных (например, $a \leftrightarrow c$ или $b \leftrightarrow c$) многочлен не изменится, так как все его члены ($a^2b^2c^2$, $-3abc$, $a+b+c$, $1$) симметричны относительно всех переменных.

Следовательно, многочлен является симметрическим.

Ответ: да.

е) Рассмотрим многочлен $P(a, b, c) = abc - 4a + 4b - 4c + 1$.

Поменяем местами переменные $a$ и $b$:

$P(b, a, c) = bac - 4b + 4a - 4c + 1 = abc + 4a - 4b - 4c + 1$

Сравним $P(b, a, c)$ с исходным многочленом $P(a, b, c)$.

$P(a, b, c) = abc - 4a + 4b - 4c + 1$

$P(b, a, c) = abc + 4a - 4b - 4c + 1$

Эти многочлены не равны, так как коэффициенты при $a$ ($-4$ и $4$) и $b$ ($4$ и $-4$) различны. В симметрическом многочлене коэффициенты при однородных членах (например, $a$, $b$ и $c$) должны быть одинаковыми. Здесь это условие не выполняется.

Следовательно, многочлен не является симметрическим.

Ответ: нет.