Номер 2.9, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.9, страница 47.

2.9 a) $\frac{1}{a - b} - \frac{1}{b - a} - \frac{2a}{a^2 - b^2};$

б) $\frac{x^2 - y^2}{2y^2} \cdot \frac{xy + y^2}{(x + y)^2};$

В) $\frac{(a + b)^3 + (a - b)^3}{2ab (a^2 + 3b^2)} - 1;$

Г) $\frac{(a^2 - ab + b^2) (a + b)^2 (a - b)}{(a^3 + b^3) (a^2 - b^2)}.$

а)

Упростим выражение $\frac{1}{a-b} - \frac{1}{b-a} - \frac{2a}{a^2-b^2}$.

Сначала преобразуем знаменатель второй дроби: $b-a = -(a-b)$. Это позволяет изменить знак перед дробью: $-\frac{1}{b-a} = -\frac{1}{-(a-b)} = +\frac{1}{a-b}$.

Далее, разложим на множители знаменатель третьей дроби, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде: $\frac{1}{a-b} + \frac{1}{a-b} - \frac{2a}{(a-b)(a+b)}$

Сложим первые две дроби, так как у них одинаковые знаменатели: $\frac{1+1}{a-b} - \frac{2a}{(a-b)(a+b)} = \frac{2}{a-b} - \frac{2a}{(a-b)(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a+b)$: $\frac{2(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{2a}{(a-b)(a+b)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей: $\frac{2(a+b) - 2a}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a + 2b - 2a}{(a-b)(a+b)} = \frac{2b}{(a-b)(a+b)}$

Сворачивая знаменатель обратно по формуле разности квадратов, получаем окончательный вид: $\frac{2b}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{2b}{a^2-b^2}$

б)

Упростим выражение $\frac{x^2-y^2}{2y^2} \cdot \frac{xy+y^2}{(x+y)^2}$.

Для упрощения этого выражения разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби — это разность квадратов: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Числитель второй дроби — вынесем общий множитель $y$ за скобки: $xy+y^2 = y(x+y)$.

Знаменатель второй дроби: $(x+y)^2 = (x+y)(x+y)$.

Подставим разложенные выражения обратно в произведение: $\frac{(x-y)(x+y)}{2y^2} \cdot \frac{y(x+y)}{(x+y)^2}$

Запишем все под одной чертой дроби и проведем сокращение: $\frac{(x-y)(x+y) \cdot y(x+y)}{2y^2 \cdot (x+y)^2} = \frac{(x-y) \cdot y \cdot (x+y)^2}{2y^2 \cdot (x+y)^2}$

Сокращаем общий множитель $(x+y)^2$. Также сокращаем на $y$: $\frac{x-y}{2y}$

Ответ: $\frac{x-y}{2y}$

в)

Упростим выражение $\frac{(a+b)^3 + (a-b)^3}{2ab(a^2+3b^2)} - 1$.

Сначала рассмотрим числитель дроби. Раскроем кубы по формулам куба суммы и куба разности: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Сложим эти два выражения: $(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = 2a^3 + 6ab^2$

В полученном выражении вынесем общий множитель $2a$ за скобки: $2a^3 + 6ab^2 = 2a(a^2 + 3b^2)$

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $\frac{2a(a^2 + 3b^2)}{2ab(a^2+3b^2)}$

Сократим общие множители $2a$ и $(a^2+3b^2)$ в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{2a}(\cancel{a^2 + 3b^2})}{\cancel{2a}b(\cancel{a^2+3b^2})} = \frac{1}{b}$

Наконец, выполним вычитание, указанное в исходном выражении: $\frac{1}{b} - 1$

При желании, можно привести к общему знаменателю: $\frac{1}{b} - \frac{b}{b} = \frac{1-b}{b}$

Ответ: $\frac{1-b}{b}$

г)

Упростим выражение $\frac{(a^2-ab+b^2)(a+b)^2(a-b)}{(a^3+b^3)(a^2-b^2)}$.

Разложим на множители выражения в знаменателе, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Знаменатель примет вид: $(a^3+b^3)(a^2-b^2) = (a+b)(a^2-ab+b^2) \cdot (a-b)(a+b)$

Сгруппируем множители в знаменателе для наглядности: $(a^2-ab+b^2)(a+b)^2(a-b)$

Теперь запишем исходную дробь с разложенным знаменателем: $\frac{(a^2-ab+b^2)(a+b)^2(a-b)}{(a^2-ab+b^2)(a+b)^2(a-b)}$

Как мы видим, числитель и знаменатель полностью идентичны. При условии, что знаменатель не равен нулю (т.е. $a \neq b$ и $a \neq -b$), мы можем сократить всю дробь.

В результате сокращения получаем: $1$

Ответ: $1$