Номер 2.14, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.14, страница 52.

2.14 Напишите числа:

а) $C_2^0$, $C_2^1$, $C_2^2$ и сравните их с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^2$;

б) $C_3^0$, $C_3^1$, $C_3^2$, $C_3^3$ и сравните их с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^3$;

в) $C_4^0$, $C_4^1$, $C_4^2$, $C_4^3$, $C_4^4$ и сравните их с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^4$.

Убедитесь, что найденные в этом задании числа стоят в $n$-й строке треугольника Паскаля ($n=2, 3, 4$).

а)

Сначала вычислим значения чисел $C_2^0, C_2^1, C_2^2$, используя формулу для биномиальных коэффициентов $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$C_2^0 = \frac{2!}{0!(2-0)!} = \frac{2!}{1 \cdot 2!} = 1$
$C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = 2$
$C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2! \cdot 0!} = 1$
Таким образом, мы получили ряд чисел: 1, 2, 1.

Теперь рассмотрим разложение бинома $(a+x)^2$. По формуле квадрата суммы:
$(a+x)^2 = a^2 + 2ax + x^2 = 1 \cdot a^2 + 2 \cdot ax + 1 \cdot x^2$
Коэффициентами в этом разложении являются числа: 1, 2, 1.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что вычисленные значения $C_2^0, C_2^1, C_2^2$ в точности равны коэффициентам в разложении бинома $(a+x)^2$.
Ответ: Числа $C_2^0, C_2^1, C_2^2$ равны 1, 2, 1 и совпадают с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^2$.

б)

Вычислим значения чисел $C_3^0, C_3^1, C_3^2, C_3^3$:
$C_3^0 = \frac{3!}{0!(3-0)!} = 1$
$C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{6}{1 \cdot 2} = 3$
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3$
$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1$
Таким образом, мы получили ряд чисел: 1, 3, 3, 1.

Рассмотрим разложение бинома $(a+x)^3$. По формуле куба суммы:
$(a+x)^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3 = 1 \cdot a^3 + 3 \cdot a^2x + 3 \cdot ax^2 + 1 \cdot x^3$
Коэффициентами в этом разложении являются числа: 1, 3, 3, 1.

Сравнение показывает, что вычисленные значения $C_3^0, C_3^1, C_3^2, C_3^3$ полностью совпадают с коэффициентами в разложении бинома $(a+x)^3$.
Ответ: Числа $C_3^0, C_3^1, C_3^2, C_3^3$ равны 1, 3, 3, 1 и совпадают с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^3$.

в)

Вычислим значения чисел $C_4^0, C_4^1, C_4^2, C_4^3, C_4^4$:
$C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = 1$
$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{24}{1 \cdot 6} = 4$
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{24}{6 \cdot 1} = 4$
$C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1$
Таким образом, мы получили ряд чисел: 1, 4, 6, 4, 1.

Разложение бинома Ньютона для $n=4$ имеет вид:
$(a+x)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3x + C_4^2 a^2x^2 + C_4^3 ax^3 + C_4^4 x^4$
Подставив вычисленные значения коэффициентов, получим:
$(a+x)^4 = 1 \cdot a^4 + 4 \cdot a^3x + 6 \cdot a^2x^2 + 4 \cdot ax^3 + 1 \cdot x^4$
Коэффициентами в этом разложении являются числа: 1, 4, 6, 4, 1.

Сравнение показывает, что вычисленные значения $C_4^k$ совпадают с коэффициентами в разложении бинома $(a+x)^4$.
Ответ: Числа $C_4^0, C_4^1, C_4^2, C_4^3, C_4^4$ равны 1, 4, 6, 4, 1 и совпадают с коэффициентами разложения бинома $(a+x)^4$.

Теперь убедимся, что найденные в этом задании числа стоят в n-й строке треугольника Паскаля (для $n = 2, 3, 4$). Строки в треугольнике Паскаля нумеруются с $n=0$.

$n=0: \quad\quad\quad 1$
$n=1: \quad\quad 1 \quad 1$
$n=2: \quad\quad 1 \quad 2 \quad 1$
$n=3: \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$
$n=4: 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$

Как мы видим:

• для $n=2$ найденные числа (1, 2, 1) образуют 2-ю строку треугольника Паскаля.
• для $n=3$ найденные числа (1, 3, 3, 1) образуют 3-ю строку треугольника Паскаля.
• для $n=4$ найденные числа (1, 4, 6, 4, 1) образуют 4-ю строку треугольника Паскаля.

Это подтверждает общее свойство: биномиальные коэффициенты $C_n^k$ для $k$ от 0 до $n$ образуют $n$-ю строку треугольника Паскаля и являются коэффициентами в разложении бинома $(a+x)^n$.