Номер 2.18, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.18, страница 52.

2.18 Найдите коэффициент третьего члена в разложении по формуле бинома Ньютона:

а) $(a + x)^6$;

б) $(a + x)^{10}$;

в) $(a + x)^{12}$.

Для нахождения коэффициента третьего члена в разложении бинома Ньютона $(a+x)^n$ воспользуемся общей формулой для $(k+1)$-го члена разложения:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} x^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Третий член разложения соответствует значению $k+1 = 3$, то есть $k=2$. Таким образом, формула для третьего члена ($T_3$) будет:

$T_3 = C_n^2 a^{n-2} x^2$

Коэффициентом этого члена при переменной $x$ является выражение $C_n^2 a^{n-2}$. Найдем его для каждого из случаев.

а) Для разложения $(a+x)^6$ имеем $n=6$.

Третий член разложения $T_3$ соответствует $k=2$. Его формула:

$T_3 = C_6^2 a^{6-2} x^2 = C_6^2 a^4 x^2$

Коэффициент этого члена равен $C_6^2 a^4$. Вычислим биномиальный коэффициент $C_6^2$:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Следовательно, искомый коэффициент равен $15a^4$.

Ответ: $15a^4$.

б) Для разложения $(a+x)^{10}$ имеем $n=10$.

Третий член разложения $T_3$ соответствует $k=2$. Его формула:

$T_3 = C_{10}^2 a^{10-2} x^2 = C_{10}^2 a^8 x^2$

Коэффициент этого члена равен $C_{10}^2 a^8$. Вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^2$:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Следовательно, искомый коэффициент равен $45a^8$.

Ответ: $45a^8$.

в) Для разложения $(a+x)^{12}$ имеем $n=12$.

Третий член разложения $T_3$ соответствует $k=2$. Его формула:

$T_3 = C_{12}^2 a^{12-2} x^2 = C_{12}^2 a^{10} x^2$

Коэффициент этого члена равен $C_{12}^2 a^{10}$. Вычислим биномиальный коэффициент $C_{12}^2$:

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$

Следовательно, искомый коэффициент равен $66a^{10}$.

Ответ: $66a^{10}$.