Номер 2.20, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.20, страница 52.

2.20 Найдите третий член разложения по формуле бинома Ньютона:

a) $(a + 1)^8$;

б) $(2a + 3)^9$;

в) $(3a - 5x)^{11}$.

а)

Для нахождения третьего члена разложения $(a + 1)^8$ по формуле бинома Ньютона воспользуемся формулой $(k+1)$-го члена разложения $(x+y)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае, $x = a$, $y = 1$, $n = 8$. Мы ищем третий член, значит $k+1 = 3$, откуда $k=2$.

Подставляем значения в формулу:

$T_3 = C_8^2 a^{8-2} 1^2 = C_8^2 a^6 \cdot 1 = C_8^2 a^6$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_8^2$:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.

Таким образом, третий член разложения равен:

$T_3 = 28a^6$.

Ответ: $28a^6$.

б)

Для нахождения третьего члена разложения $(2a + 3)^9$ воспользуемся той же формулой $(k+1)$-го члена разложения бинома Ньютона: $T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$.

В данном случае, $x = 2a$, $y = 3$, $n = 9$. Мы ищем третий член, поэтому $k+1 = 3$, то есть $k=2$.

Подставляем эти значения в формулу:

$T_3 = C_9^2 (2a)^{9-2} 3^2 = C_9^2 (2a)^7 3^2$.

Сначала вычислим биномиальный коэффициент $C_9^2$:

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$.

Теперь подставим значение коэффициента и упростим выражение:

$T_3 = 36 \cdot (2a)^7 \cdot 3^2 = 36 \cdot 2^7 \cdot a^7 \cdot 9 = 36 \cdot 128 \cdot 9 \cdot a^7$.

Вычислим числовой коэффициент:

$36 \cdot 128 \cdot 9 = 324 \cdot 128 = 41472$.

Следовательно, третий член разложения равен:

$T_3 = 41472a^7$.

Ответ: $41472a^7$.

в)

Для нахождения третьего члена разложения $(3a - 5x)^{11}$ представим бином в виде $(3a + (-5x))^{11}$ и воспользуемся формулой $(k+1)$-го члена: $T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$.

Здесь, первый член бинома $x = 3a$, второй член $y = -5x$, а степень $n = 11$. Мы ищем третий член, значит $k+1 = 3$, откуда $k=2$.

Подставляем значения в формулу:

$T_3 = C_{11}^2 (3a)^{11-2} (-5x)^2 = C_{11}^2 (3a)^9 (-5x)^2$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_{11}^2$:

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55$.

Теперь подставим значение коэффициента и упростим выражение:

$T_3 = 55 \cdot (3a)^9 \cdot (-5x)^2 = 55 \cdot 3^9 \cdot a^9 \cdot (-5)^2 \cdot x^2 = 55 \cdot 3^9 \cdot a^9 \cdot 25 \cdot x^2$.

Вычислим числовой коэффициент. Сначала $3^9$:

$3^9 = 19683$.

Теперь перемножим все числовые множители:

$55 \cdot 25 \cdot 19683 = 1375 \cdot 19683 = 27064125$.

Таким образом, третий член разложения равен:

$T_3 = 27064125a^9x^2$.

Ответ: $27064125a^9x^2$.