Номер 2.27, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.3*. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.27, страница 57.

Разделите уголком многочлен A на многочлен B (2.27–2.28), если:

2.27 а) $A = x^3 - x^2 + x + 3$, $B = x^2 - 2x + 3$;

б) $A = x^3 + x^2 + 3x - 5$, $B = x^2 + 2x + 5$;

в) $A = x^4 - 2x^3 + x^2 + 8x - 20$, $B = x^2 - 4$.

а) Разделим многочлен $A = x^3 - x^2 + x + 3$ на многочлен $B = x^2 - 2x + 3$ уголком.

Процесс деления многочленов уголком аналогичен делению чисел в столбик.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$), чтобы найти первый член частного: $x^3 / x^2 = x$.

Шаг 2: Умножаем полученный член частного ($x$) на делитель ($x^2 - 2x + 3$): $x(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x$.

Шаг 3: Вычитаем результат из делимого: $(x^3 - x^2 + x + 3) - (x^3 - 2x^2 + 3x) = x^2 - 2x + 3$.

Шаг 4: Полученный остаток $x^2 - 2x + 3$ теперь является новым делимым. Делим его старший член ($x^2$) на старший член делителя ($x^2$): $x^2 / x^2 = 1$. Это второй член частного.

Шаг 5: Умножаем второй член частного (1) на делитель: $1(x^2 - 2x + 3) = x^2 - 2x + 3$.

Шаг 6: Вычитаем результат из нового делимого: $(x^2 - 2x + 3) - (x^2 - 2x + 3) = 0$.

Остаток равен 0. Деление выполнено без остатка.

Схематично это выглядит так:

 x³ - x² + x + 3 | x² - 2x + 3-(x³ - 2x² + 3x) |----------------------------- | x + 1 x² - 2x + 3 -(x² - 2x + 3) ------------- 0 

Ответ: $x + 1$.

б) Разделим многочлен $A = x^3 + x^2 + 3x - 5$ на многочлен $B = x^2 + 2x + 5$ уголком.

Шаг 1: Делим $x^3$ на $x^2$: $x^3 / x^2 = x$.

Шаг 2: Умножаем $x$ на $x^2 + 2x + 5$: $x(x^2 + 2x + 5) = x^3 + 2x^2 + 5x$.

Шаг 3: Вычитаем из делимого: $(x^3 + x^2 + 3x - 5) - (x^3 + 2x^2 + 5x) = -x^2 - 2x - 5$.

Шаг 4: Делим старший член остатка ($-x^2$) на старший член делителя ($x^2$): $-x^2 / x^2 = -1$.

Шаг 5: Умножаем $-1$ на $x^2 + 2x + 5$: $-1(x^2 + 2x + 5) = -x^2 - 2x - 5$.

Шаг 6: Вычитаем: $(-x^2 - 2x - 5) - (-x^2 - 2x - 5) = 0$.

Остаток равен 0.

Схема деления:

 x³ + x² + 3x - 5 | x² + 2x + 5-(x³ + 2x² + 5x) |----------------------------- | x - 1 -x² - 2x - 5 -(-x² - 2x - 5) -------------- 0 

Ответ: $x - 1$.

в) Разделим многочлен $A = x^4 - 2x^3 + x^2 + 8x - 20$ на многочлен $B = x^2 - 4$ уголком.

Шаг 1: Делим $x^4$ на $x^2$: $x^4 / x^2 = x^2$.

Шаг 2: Умножаем $x^2$ на $x^2 - 4$: $x^2(x^2 - 4) = x^4 - 4x^2$.

Шаг 3: Вычитаем: $(x^4 - 2x^3 + x^2 + 8x - 20) - (x^4 - 4x^2) = -2x^3 + 5x^2 + 8x - 20$.

Шаг 4: Делим старший член остатка ($-2x^3$) на $x^2$: $-2x^3 / x^2 = -2x$.

Шаг 5: Умножаем $-2x$ на $x^2 - 4$: $-2x(x^2 - 4) = -2x^3 + 8x$.

Шаг 6: Вычитаем: $(-2x^3 + 5x^2 + 8x - 20) - (-2x^3 + 8x) = 5x^2 - 20$.

Шаг 7: Делим старший член нового остатка ($5x^2$) на $x^2$: $5x^2 / x^2 = 5$.

Шаг 8: Умножаем $5$ на $x^2 - 4$: $5(x^2 - 4) = 5x^2 - 20$.

Шаг 9: Вычитаем: $(5x^2 - 20) - (5x^2 - 20) = 0$.

Остаток равен 0.

Схема деления:

 x⁴ - 2x³ + x² + 8x - 20 | x² - 4-(x⁴ - 4x²) |----------------------------------------- | x² - 2x + 5 -2x³ + 5x² + 8x -(-2x³ + 8x) ------------------ 5x² - 20 -(5x² - 20) ---------- 0 

Ответ: $x^2 - 2x + 5$.