Номер 2.26, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.26, страница 53.

2.26* Сократима ли дробь:

а) $\frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}}$;б) $\frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1}$?

а)

Рассмотрим дробь $\frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}}$. Чтобы определить, является ли дробь сократимой, нужно проверить, имеют ли ее числитель и знаменатель общий делитель, отличный от 1.

Воспользуемся формулой суммы нечетных степеней: $x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + \dots + y^{n-1})$, которая верна для любого нечетного натурального числа $n$.

Числитель дроби — это $a^{1999} + b^{1999}$. Поскольку степень 1999 является нечетным числом, мы можем применить эту формулу:

$a^{1999} + b^{1999} = (a+b)(a^{1998} - a^{1997}b + a^{1996}b^2 - \dots + b^{1998})$.

Из этого следует, что числитель делится на $(a+b)$.

Знаменатель дроби — это $a^{1997} + b^{1997}$. Степень 1997 также является нечетным числом. Применим ту же формулу:

$a^{1997} + b^{1997} = (a+b)(a^{1996} - a^{1995}b + a^{1994}b^2 - \dots + b^{1996})$.

Из этого следует, что и знаменатель делится на $(a+b)$.

Поскольку и числитель, и знаменатель имеют общий множитель $(a+b)$, данная дробь является сократимой (если рассматривать $a$ и $b$ как переменные).

Ответ: да, сократима.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1}$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя с помощью алгоритма Евклида для многочленов.

Пусть числитель $P(a) = a^{1999} - 1$ и знаменатель $Q(a) = a^{1998} - 1$.

Разделим $P(a)$ на $Q(a)$ с остатком:

$a^{1999} - 1 = a \cdot a^{1998} - 1 = a \cdot a^{1998} - a + a - 1 = a(a^{1998} - 1) + (a - 1)$.

Остаток от деления равен $(a-1)$.

Согласно алгоритму Евклида, НОД исходных многочленов равен НОД делителя и остатка:

$\text{НОД}(a^{1999} - 1, a^{1998} - 1) = \text{НОД}(a^{1998} - 1, a - 1)$.

Теперь нужно проверить, делится ли многочлен $a^{1998} - 1$ на $(a - 1)$. Согласно теореме Безу, многочлен $R(a)$ делится на двучлен $(a-c)$ тогда и только тогда, когда $R(c) = 0$.

В нашем случае $R(a) = a^{1998} - 1$ и $c=1$. Проверим значение $R(1)$:

$R(1) = 1^{1998} - 1 = 1 - 1 = 0$.

Так как $R(1) = 0$, многочлен $a^{1998} - 1$ делится на $(a - 1)$ без остатка. Следовательно,

$\text{НОД}(a^{1998} - 1, a - 1) = a - 1$.

Таким образом, наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен $(a-1)$. Поскольку они имеют общий множитель, отличный от 1 (в общем случае), дробь является сократимой.

Ответ: да, сократима.