Номер 2.19, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.19, страница 52.

2.19 Найдите коэффициент среднего члена в разложении по формуле бинома Ньютона:

а) $(a+x)^8$;

б) $(a+x)^{10}$;

в) $(a+x)^{16}$.

Формула бинома Ньютона для разложения $(a+x)^n$ имеет вид: $(a+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} x^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальные коэффициенты.

Общее число членов в разложении равно $n+1$. Если показатель степени $n$ — четное число, то есть $n=2m$, то количество членов в разложении равно $2m+1$, что является нечетным числом. В этом случае существует единственный средний член. Его порядковый номер равен $m+1 = \frac{n}{2}+1$. Для нахождения этого члена, значение $k$ в общей формуле должно быть равно $m = \frac{n}{2}$. Таким образом, коэффициент среднего члена равен $C_n^{n/2}$.

Во всех трех представленных случаях показатель степени $n$ является четным.

а) $(a+x)^8$

Здесь показатель степени $n=8$. Так как $n$ — четное, разложение имеет один средний член. Его номер в разложении будет $\frac{8}{2}+1=5$. Для пятого члена параметр $k$ равен $\frac{8}{2} = 4$.

Коэффициент среднего члена равен биномиальному коэффициенту $C_8^4$. Вычислим его значение:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70$.

Ответ: 70

б) $(a+x)^{10}$

Здесь показатель степени $n=10$. Так как $n$ — четное, разложение имеет один средний член. Его номер будет $\frac{10}{2}+1=6$. Для шестого члена параметр $k$ равен $\frac{10}{2} = 5$.

Коэффициент среднего члена равен биномиальному коэффициенту $C_{10}^5$. Вычислим его значение:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$.

Ответ: 252

в) $(a+x)^{16}$

Здесь показатель степени $n=16$. Так как $n$ — четное, разложение имеет один средний член. Его номер будет $\frac{16}{2}+1=9$. Для девятого члена параметр $k$ равен $\frac{16}{2} = 8$.

Коэффициент среднего члена равен биномиальному коэффициенту $C_{16}^8$. Вычислим его значение:

$C_{16}^8 = \frac{16!}{8!(16-8)!} = \frac{16!}{8!8!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$.

После сокращения дроби получаем:

$C_{16}^8 = 13 \times 11 \times 10 \times 9 = 12870$.

Ответ: 12870