Номер 2.24, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.24, страница 53.

2.24 a) $(b+2)(b^2-2b+4)(b^3-8) = b^6 - 64;$

б) $(a-c)(a^2+ac+c^2)(a^3+c^3)+c^6 = a^6.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть $(b + 2)(b^2 - 2b + 4)(b^3 - 8)$, используя формулы сокращенного умножения.

Сначала рассмотрим произведение первых двух множителей: $(b + 2)(b^2 - 2b + 4)$. Это формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

В нашем случае $x = b$ и $y = 2$. Применяя формулу, получаем:

$(b + 2)(b^2 - 2b + 4) = b^3 + 2^3 = b^3 + 8$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного тождества:

$(b^3 + 8)(b^3 - 8)$.

Это выражение является формулой разности квадратов: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = b^3$ и $y = 8$. Применяя формулу, получаем:

$(b^3 + 8)(b^3 - 8) = (b^3)^2 - 8^2 = b^6 - 64$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой: $b^6 - 64 = b^6 - 64$.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть $(a - c)(a^2 + ac + c^2)(a^3 + c^3) + c^6$.

Рассмотрим произведение первых двух множителей: $(a - c)(a^2 + ac + c^2)$. Это формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем случае $x = a$ и $y = c$. Применяя формулу, получаем:

$(a - c)(a^2 + ac + c^2) = a^3 - c^3$.

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$(a^3 - c^3)(a^3 + c^3) + c^6$.

Произведение $(a^3 - c^3)(a^3 + c^3)$ является формулой разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = a^3$ и $y = c^3$. Применяя формулу, получаем:

$(a^3 - c^3)(a^3 + c^3) = (a^3)^2 - (c^3)^2 = a^6 - c^6$.

Теперь вернемся к полному выражению левой части и подставим полученный результат:

$(a^6 - c^6) + c^6 = a^6 - c^6 + c^6 = a^6$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна правой: $a^6 = a^6$.

Ответ: Тождество доказано.