Номер 2.29, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.3*. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.29, страница 57.

2.29 Найдите НОД (А, В), если:

а) $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$, $B = x^3 - x^2 + 1$;

б) $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$, $B = x^3 - 1$;

в) $A = x^5 - x^4 - x^3 - 2x^2 - x$, $B = x^5 - x^4 + x^3 - x$;

г) $A = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x$, $B = x^2 - 4x + 3$.

а)

Даны многочлены $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$ и $B = x^3 - x^2 + 1$. Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) воспользуемся алгоритмом Евклида для многочленов.

Шаг 1: Разделим многочлен $A$ на $B$. Поскольку старшие степени многочленов равны, частное от деления равно 1. Найдем первый остаток $R_1$:
$R_1(x) = A(x) - 1 \cdot B(x) = (x^3 - 2x^2 + 2x - 1) - (x^3 - x^2 + 1) = -x^2 + 2x - 2$.
Поскольку НОД определяется с точностью до постоянного множителя, мы можем умножить остаток на -1 для удобства: $R_1'(x) = -R_1(x) = x^2 - 2x + 2$.

Шаг 2: Разделим многочлен $B(x)$ на новый остаток $R_1'(x) = x^2 - 2x + 2$. Выполним деление в столбик:
$(x^3 - x^2 + 1) \div (x^2 - 2x + 2)$.
Получаем частное $Q(x) = x+1$ и остаток $R_2(x) = -1$.
$x^3 - x^2 + 1 = (x+1)(x^2 - 2x + 2) - 1$.

Шаг 3: Следующим шагом является деление $R_1'(x)$ на $R_2(x)$. Так как остаток $R_2(x) = -1$ является ненулевой константой, алгоритм завершается. Это означает, что исходные многочлены взаимно просты. Последний ненулевой остаток (с точностью до числового множителя) и есть НОД.

Ответ: $1$.

б)

Даны многочлены $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$ и $B = x^3 - 1$. Воспользуемся алгоритмом Евклида.

Шаг 1: Разделим $A$ на $B$. Найдем первый остаток $R_1(x)$:
$R_1(x) = A(x) - 1 \cdot B(x) = (x^3 - 2x^2 + 2x - 1) - (x^3 - 1) = -2x^2 + 2x = -2x(x-1)$.
Для следующего шага в качестве делителя можно взять многочлен $x-1$, так как НОД определяется с точностью до ненулевого множителя $-2x$. (Проверка показывает, что $x=0$ не является корнем многочленов $A$ и $B$, так как $A(0)=-1$ и $B(0)=-1$, поэтому отбрасывание множителя $x$ корректно).

Шаг 2: Разделим многочлен $B(x) = x^3 - 1$ на $R_1'(x) = x-1$.
Используя формулу разности кубов, $B(x) = x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$.
Отсюда видно, что $B(x)$ делится на $x-1$ без остатка. Остаток $R_2(x) = 0$.

Алгоритм Евклида завершен. Последний ненулевой остаток это $R_1'(x) = x-1$.

Ответ: $x-1$.

в)

Даны многочлены $A = x^5 - x^4 - x^3 - 2x^2 - x$ и $B = x^5 - x^4 + x^3 - x$. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки в обоих многочленах:
$A = x(x^4 - x^3 - x^2 - 2x - 1)$
$B = x(x^4 - x^3 + x^2 - 1)$
Множитель $x$ будет частью НОД. Теперь найдем НОД для многочленов $A'(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 2x - 1$ и $B'(x) = x^4 - x^3 + x^2 - 1$ с помощью алгоритма Евклида.

Шаг 1: Разделим $A'$ на $B'$. Найдем остаток $R_1(x)$:
$R_1(x) = A'(x) - 1 \cdot B'(x) = (x^4 - x^3 - x^2 - 2x - 1) - (x^4 - x^3 + x^2 - 1) = -2x^2 - 2x = -2x(x+1)$.
Возьмем в качестве нового делителя $R_1'(x) = x(x+1) = x^2+x$.

Шаг 2: Разделим $B'(x)$ на $R_1'(x)$:
$(x^4 - x^3 + x^2 - 1) \div (x^2+x)$
$x^4 - x^3 + x^2 - 1 = (x^2 - 2x + 3)(x^2+x) + (-3x - 1)$.
Остаток $R_2(x) = -3x-1$. Возьмем $R_2'(x) = 3x+1$.

Шаг 3: Разделим $R_1'(x)$ на $R_2'(x)$:
$(x^2+x) \div (3x+1)$
Чтобы избежать дробей, можно умножить $R_1'(x)$ на 9: $9(x^2+x) = 9x^2+9x$.
$9x^2+9x = (3x+2)(3x+1) - 2$.
Остаток от деления $9R_1'$ на $R_2'$ равен $-2$. Значит, остаток от деления $R_1'$ на $R_2'$ равен $-2/9$.
Так как остаток является ненулевой константой, многочлены $A'$ и $B'$ взаимно просты, и их НОД равен 1.

Итоговый НОД для $A$ и $B$ равен произведению общего множителя $x$ и НОД($A'$, $B'$).
НОД(A, B) = $x \cdot \text{НОД}(A', B') = x \cdot 1 = x$.

Ответ: $x$.

г)

Даны многочлены $A = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x$ и $B = x^2 - 4x + 3$. Найдем НОД, используя разложение на множители.

Сначала разложим на множители многочлен $B = x^2 - 4x + 3$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, $B(x) = (x-1)(x-3)$.

Теперь проверим, являются ли $x=1$ и $x=3$ корнями многочлена $A$.
$A(1) = 1^4 - 5(1^3) + 7(1^2) - 3(1) = 1 - 5 + 7 - 3 = 0$.
$A(3) = 3^4 - 5(3^3) + 7(3^2) - 3(3) = 81 - 5(27) + 7(9) - 9 = 81 - 135 + 63 - 9 = 144 - 144 = 0$.
Поскольку $x=1$ и $x=3$ являются корнями $A$, то многочлен $A$ делится на $(x-1)$ и $(x-3)$, а значит, и на их произведение $(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3 = B(x)$.

Таким образом, многочлен $B$ является делителем многочлена $A$. В этом случае их наибольший общий делитель равен $B$.
Это также можно проверить, разделив $A$ на $B$ в столбик:
$(x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x) \div (x^2 - 4x + 3) = x^2 - x$.
Остаток от деления равен 0, что подтверждает, что $A(x) = (x^2-x)B(x)$.

Ответ: $x^2 - 4x + 3$.