Страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разделите уголком многочлен A на многочлен B (2.27–2.28), если:

2.27 а) $A = x^3 - x^2 + x + 3$, $B = x^2 - 2x + 3$;

б) $A = x^3 + x^2 + 3x - 5$, $B = x^2 + 2x + 5$;

в) $A = x^4 - 2x^3 + x^2 + 8x - 20$, $B = x^2 - 4$.

а) Разделим многочлен $A = x^3 - x^2 + x + 3$ на многочлен $B = x^2 - 2x + 3$ уголком.

Процесс деления многочленов уголком аналогичен делению чисел в столбик.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$), чтобы найти первый член частного: $x^3 / x^2 = x$.

Шаг 2: Умножаем полученный член частного ($x$) на делитель ($x^2 - 2x + 3$): $x(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x$.

Шаг 3: Вычитаем результат из делимого: $(x^3 - x^2 + x + 3) - (x^3 - 2x^2 + 3x) = x^2 - 2x + 3$.

Шаг 4: Полученный остаток $x^2 - 2x + 3$ теперь является новым делимым. Делим его старший член ($x^2$) на старший член делителя ($x^2$): $x^2 / x^2 = 1$. Это второй член частного.

Шаг 5: Умножаем второй член частного (1) на делитель: $1(x^2 - 2x + 3) = x^2 - 2x + 3$.

Шаг 6: Вычитаем результат из нового делимого: $(x^2 - 2x + 3) - (x^2 - 2x + 3) = 0$.

Остаток равен 0. Деление выполнено без остатка.

Схематично это выглядит так:

 x³ - x² + x + 3 | x² - 2x + 3-(x³ - 2x² + 3x) |----------------------------- | x + 1 x² - 2x + 3 -(x² - 2x + 3) ------------- 0 

Ответ: $x + 1$.

б) Разделим многочлен $A = x^3 + x^2 + 3x - 5$ на многочлен $B = x^2 + 2x + 5$ уголком.

Шаг 1: Делим $x^3$ на $x^2$: $x^3 / x^2 = x$.

Шаг 2: Умножаем $x$ на $x^2 + 2x + 5$: $x(x^2 + 2x + 5) = x^3 + 2x^2 + 5x$.

Шаг 3: Вычитаем из делимого: $(x^3 + x^2 + 3x - 5) - (x^3 + 2x^2 + 5x) = -x^2 - 2x - 5$.

Шаг 4: Делим старший член остатка ($-x^2$) на старший член делителя ($x^2$): $-x^2 / x^2 = -1$.

Шаг 5: Умножаем $-1$ на $x^2 + 2x + 5$: $-1(x^2 + 2x + 5) = -x^2 - 2x - 5$.

Шаг 6: Вычитаем: $(-x^2 - 2x - 5) - (-x^2 - 2x - 5) = 0$.

Остаток равен 0.

Схема деления:

 x³ + x² + 3x - 5 | x² + 2x + 5-(x³ + 2x² + 5x) |----------------------------- | x - 1 -x² - 2x - 5 -(-x² - 2x - 5) -------------- 0 

Ответ: $x - 1$.

в) Разделим многочлен $A = x^4 - 2x^3 + x^2 + 8x - 20$ на многочлен $B = x^2 - 4$ уголком.

Шаг 1: Делим $x^4$ на $x^2$: $x^4 / x^2 = x^2$.

Шаг 2: Умножаем $x^2$ на $x^2 - 4$: $x^2(x^2 - 4) = x^4 - 4x^2$.

Шаг 3: Вычитаем: $(x^4 - 2x^3 + x^2 + 8x - 20) - (x^4 - 4x^2) = -2x^3 + 5x^2 + 8x - 20$.

Шаг 4: Делим старший член остатка ($-2x^3$) на $x^2$: $-2x^3 / x^2 = -2x$.

Шаг 5: Умножаем $-2x$ на $x^2 - 4$: $-2x(x^2 - 4) = -2x^3 + 8x$.

Шаг 6: Вычитаем: $(-2x^3 + 5x^2 + 8x - 20) - (-2x^3 + 8x) = 5x^2 - 20$.

Шаг 7: Делим старший член нового остатка ($5x^2$) на $x^2$: $5x^2 / x^2 = 5$.

Шаг 8: Умножаем $5$ на $x^2 - 4$: $5(x^2 - 4) = 5x^2 - 20$.

Шаг 9: Вычитаем: $(5x^2 - 20) - (5x^2 - 20) = 0$.

Остаток равен 0.

Схема деления:

 x⁴ - 2x³ + x² + 8x - 20 | x² - 4-(x⁴ - 4x²) |----------------------------------------- | x² - 2x + 5 -2x³ + 5x² + 8x -(-2x³ + 8x) ------------------ 5x² - 20 -(5x² - 20) ---------- 0 

Ответ: $x^2 - 2x + 5$.

2.28 a) $A = x^5 - 1, B = x^3 - 1;$

б) $A = x^7 - 1, B = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.$

а)

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) многочленов $A = x^5 - 1$ и $B = x^3 - 1$ воспользуемся алгоритмом Евклида для многочленов, который заключается в последовательном делении с остатком.

Шаг 1: Разделим многочлен $A$ на многочлен $B$ с остатком.
Чтобы разделить $x^5 - 1$ на $x^3 - 1$, выполним деление, например, методом "уголком" или путем алгебраических преобразований:
$x^5 - 1 = x^5 - x^2 + x^2 - 1 = x^2(x^3 - 1) + (x^2 - 1)$.
Частное $Q_1(x) = x^2$, остаток $R_1(x) = x^2 - 1$.

Шаг 2: Теперь разделим предыдущий делитель $B(x) = x^3 - 1$ на полученный остаток $R_1(x) = x^2 - 1$.
$x^3 - 1 = x^3 - x + x - 1 = x(x^2 - 1) + (x - 1)$.
Частное $Q_2(x) = x$, остаток $R_2(x) = x - 1$.

Шаг 3: Разделим предыдущий делитель $R_1(x) = x^2 - 1$ на новый остаток $R_2(x) = x - 1$.
Используя формулу разности квадратов, имеем $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Деление выполняется без остатка: $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) + 0$.
Частное $Q_3(x) = x + 1$, остаток $R_3(x) = 0$.

Алгоритм заканчивается, когда остаток равен нулю. Последний ненулевой остаток и является НОД исходных многочленов. В нашем случае это $R_2(x) = x - 1$.

Ответ: $x - 1$.

б)

Рассмотрим многочлены $A = x^7 - 1$ и $B = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

Заметим, что многочлен $A$ можно разложить на множители по формуле разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
Применительно к $A = x^7 - 1^7$, получаем:
$A = x^7 - 1 = (x-1)(x^6 + x^5 \cdot 1 + x^4 \cdot 1^2 + x^3 \cdot 1^3 + x^2 \cdot 1^4 + x \cdot 1^5 + 1^6)$.
$A = (x-1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.

Мы видим, что второй множитель в разложении многочлена $A$ в точности совпадает с многочленом $B$.
Таким образом, $A = (x - 1)B$.

Это равенство означает, что многочлен $A$ делится на многочлен $B$ без остатка (частное равно $x-1$).
По определению, наибольшим общим делителем двух многочленов, один из которых является делителем другого, является сам делитель.
Следовательно, НОД($A, B$) = $B$.

Ответ: $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

2.29 Найдите НОД (А, В), если:

а) $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$, $B = x^3 - x^2 + 1$;

б) $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$, $B = x^3 - 1$;

в) $A = x^5 - x^4 - x^3 - 2x^2 - x$, $B = x^5 - x^4 + x^3 - x$;

г) $A = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x$, $B = x^2 - 4x + 3$.

а)

Даны многочлены $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$ и $B = x^3 - x^2 + 1$. Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) воспользуемся алгоритмом Евклида для многочленов.

Шаг 1: Разделим многочлен $A$ на $B$. Поскольку старшие степени многочленов равны, частное от деления равно 1. Найдем первый остаток $R_1$:
$R_1(x) = A(x) - 1 \cdot B(x) = (x^3 - 2x^2 + 2x - 1) - (x^3 - x^2 + 1) = -x^2 + 2x - 2$.
Поскольку НОД определяется с точностью до постоянного множителя, мы можем умножить остаток на -1 для удобства: $R_1'(x) = -R_1(x) = x^2 - 2x + 2$.

Шаг 2: Разделим многочлен $B(x)$ на новый остаток $R_1'(x) = x^2 - 2x + 2$. Выполним деление в столбик:
$(x^3 - x^2 + 1) \div (x^2 - 2x + 2)$.
Получаем частное $Q(x) = x+1$ и остаток $R_2(x) = -1$.
$x^3 - x^2 + 1 = (x+1)(x^2 - 2x + 2) - 1$.

Шаг 3: Следующим шагом является деление $R_1'(x)$ на $R_2(x)$. Так как остаток $R_2(x) = -1$ является ненулевой константой, алгоритм завершается. Это означает, что исходные многочлены взаимно просты. Последний ненулевой остаток (с точностью до числового множителя) и есть НОД.

Ответ: $1$.

б)

Даны многочлены $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$ и $B = x^3 - 1$. Воспользуемся алгоритмом Евклида.

Шаг 1: Разделим $A$ на $B$. Найдем первый остаток $R_1(x)$:
$R_1(x) = A(x) - 1 \cdot B(x) = (x^3 - 2x^2 + 2x - 1) - (x^3 - 1) = -2x^2 + 2x = -2x(x-1)$.
Для следующего шага в качестве делителя можно взять многочлен $x-1$, так как НОД определяется с точностью до ненулевого множителя $-2x$. (Проверка показывает, что $x=0$ не является корнем многочленов $A$ и $B$, так как $A(0)=-1$ и $B(0)=-1$, поэтому отбрасывание множителя $x$ корректно).

Шаг 2: Разделим многочлен $B(x) = x^3 - 1$ на $R_1'(x) = x-1$.
Используя формулу разности кубов, $B(x) = x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$.
Отсюда видно, что $B(x)$ делится на $x-1$ без остатка. Остаток $R_2(x) = 0$.

Алгоритм Евклида завершен. Последний ненулевой остаток это $R_1'(x) = x-1$.

Ответ: $x-1$.

в)

Даны многочлены $A = x^5 - x^4 - x^3 - 2x^2 - x$ и $B = x^5 - x^4 + x^3 - x$. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки в обоих многочленах:
$A = x(x^4 - x^3 - x^2 - 2x - 1)$
$B = x(x^4 - x^3 + x^2 - 1)$
Множитель $x$ будет частью НОД. Теперь найдем НОД для многочленов $A'(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 2x - 1$ и $B'(x) = x^4 - x^3 + x^2 - 1$ с помощью алгоритма Евклида.

Шаг 1: Разделим $A'$ на $B'$. Найдем остаток $R_1(x)$:
$R_1(x) = A'(x) - 1 \cdot B'(x) = (x^4 - x^3 - x^2 - 2x - 1) - (x^4 - x^3 + x^2 - 1) = -2x^2 - 2x = -2x(x+1)$.
Возьмем в качестве нового делителя $R_1'(x) = x(x+1) = x^2+x$.

Шаг 2: Разделим $B'(x)$ на $R_1'(x)$:
$(x^4 - x^3 + x^2 - 1) \div (x^2+x)$
$x^4 - x^3 + x^2 - 1 = (x^2 - 2x + 3)(x^2+x) + (-3x - 1)$.
Остаток $R_2(x) = -3x-1$. Возьмем $R_2'(x) = 3x+1$.

Шаг 3: Разделим $R_1'(x)$ на $R_2'(x)$:
$(x^2+x) \div (3x+1)$
Чтобы избежать дробей, можно умножить $R_1'(x)$ на 9: $9(x^2+x) = 9x^2+9x$.
$9x^2+9x = (3x+2)(3x+1) - 2$.
Остаток от деления $9R_1'$ на $R_2'$ равен $-2$. Значит, остаток от деления $R_1'$ на $R_2'$ равен $-2/9$.
Так как остаток является ненулевой константой, многочлены $A'$ и $B'$ взаимно просты, и их НОД равен 1.

Итоговый НОД для $A$ и $B$ равен произведению общего множителя $x$ и НОД($A'$, $B'$).
НОД(A, B) = $x \cdot \text{НОД}(A', B') = x \cdot 1 = x$.

Ответ: $x$.

г)

Даны многочлены $A = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x$ и $B = x^2 - 4x + 3$. Найдем НОД, используя разложение на множители.

Сначала разложим на множители многочлен $B = x^2 - 4x + 3$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, $B(x) = (x-1)(x-3)$.

Теперь проверим, являются ли $x=1$ и $x=3$ корнями многочлена $A$.
$A(1) = 1^4 - 5(1^3) + 7(1^2) - 3(1) = 1 - 5 + 7 - 3 = 0$.
$A(3) = 3^4 - 5(3^3) + 7(3^2) - 3(3) = 81 - 5(27) + 7(9) - 9 = 81 - 135 + 63 - 9 = 144 - 144 = 0$.
Поскольку $x=1$ и $x=3$ являются корнями $A$, то многочлен $A$ делится на $(x-1)$ и $(x-3)$, а значит, и на их произведение $(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3 = B(x)$.

Таким образом, многочлен $B$ является делителем многочлена $A$. В этом случае их наибольший общий делитель равен $B$.
Это также можно проверить, разделив $A$ на $B$ в столбик:
$(x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x) \div (x^2 - 4x + 3) = x^2 - x$.
Остаток от деления равен 0, что подтверждает, что $A(x) = (x^2-x)B(x)$.

Ответ: $x^2 - 4x + 3$.

2.30 Сократите дробь:

а) $\frac{x^3 - x^2 + x + 3}{x^2 - 2x + 3}$;

б) $\frac{x^3 + x^2 + 3x - 5}{x^2 + 2x + 5}$;

В) $\frac{x^3 - 1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}$;

Г) $\frac{x^3 + 8}{x^3 - 4x^2 + 8x - 8}$.

а) $\frac{x^3 - x^2 + x + 3}{x^2 - 2x + 3}$

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Рассмотрим знаменатель $x^2 - 2x + 3$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители. Он всегда принимает положительные значения.

Предположим, что дробь можно сократить. Это возможно, если числитель $x^3 - x^2 + x + 3$ делится на знаменатель $x^2 - 2x + 3$. Выполним деление многочленов (например, столбиком), чтобы проверить это. Или можно представить числитель следующим образом:

$x^3 - x^2 + x + 3 = x^3 - 2x^2 + 3x + x^2 - 2x + 3 = x(x^2 - 2x + 3) + 1(x^2 - 2x + 3)$
$x^3 - x^2 + x + 3 = (x+1)(x^2 - 2x + 3)$

Таким образом, числитель раскладывается на множители. Теперь можем сократить дробь:

$\frac{(x+1)(x^2 - 2x + 3)}{x^2 - 2x + 3} = x+1$

Ответ: $x+1$

б) $\frac{x^3 + x^2 + 3x - 5}{x^2 + 2x + 5}$

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 2x + 5$. Его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$, знаменатель не имеет действительных корней и всегда положителен.

Попробуем разложить на множители числитель $x^3 + x^2 + 3x - 5$. По теореме о рациональных корнях, возможные целые корни – это делители свободного члена -5, то есть $\pm 1, \pm 5$. Проверим $x=1$:

$1^3 + 1^2 + 3(1) - 5 = 1 + 1 + 3 - 5 = 0$.

Значит, $x=1$ является корнем, и многочлен делится на $(x-1)$. Выполним разложение числителя, выделив множитель $(x-1)$:

$x^3 + x^2 + 3x - 5 = (x^3 - x^2) + (2x^2 - 2x) + (5x - 5) = x^2(x-1) + 2x(x-1) + 5(x-1) = (x-1)(x^2 + 2x + 5)$

Теперь можем сократить дробь:

$\frac{(x-1)(x^2 + 2x + 5)}{x^2 + 2x + 5} = x-1$

Ответ: $x-1$

в) $\frac{x^3 - 1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}$

Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$

Разложим на множители знаменатель $x^3 + 2x^2 + 2x + 1$. Проверим возможный целый корень $x=-1$:

$(-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0$.

Значит, $(x+1)$ является множителем. Сгруппируем члены в знаменателе:

$x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + (2x^2 + 2x) = (x+1)(x^2 - x + 1) + 2x(x+1)$
$= (x+1)(x^2 - x + 1 + 2x) = (x+1)(x^2 + x + 1)$

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x+1)(x^2 + x + 1)} = \frac{x-1}{x+1}$

Сокращение возможно при условии $x^2 + x + 1 \neq 0$ (что верно для всех действительных $x$, так как его дискриминант отрицателен) и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$

г) $\frac{x^3 + 8}{x^3 - 4x^2 + 8x - 8}$

Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

Разложим на множители знаменатель $x^3 - 4x^2 + 8x - 8$. Проверим возможный целый корень $x=2$:

$2^3 - 4(2^2) + 8(2) - 8 = 8 - 16 + 16 - 8 = 0$.

Значит, $(x-2)$ является множителем. Сгруппируем члены в знаменателе:

$x^3 - 4x^2 + 8x - 8 = (x^3 - 8) - (4x^2 - 8x) = (x-2)(x^2 + 2x + 4) - 4x(x-2)$
$= (x-2)(x^2 + 2x + 4 - 4x) = (x-2)(x^2 - 2x + 4)$

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{(x-2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{x+2}{x-2}$

Сокращение возможно при условии $x^2 - 2x + 4 \neq 0$ (что верно для всех действительных $x$, так как его дискриминант отрицателен) и $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Ответ: $\frac{x+2}{x-2}$

2.31 Докажите, что дробь несократима:

а) $ \frac{x^4 + 1}{x^3 + 1} $;

б) $ \frac{x^3 + 9}{x^2 - 1} $.

а) Чтобы доказать, что дробь $\frac{x^4+1}{x^3+1}$ несократима, нужно показать, что её числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме констант. Для этого мы найдем их наибольший общий делитель (НОД) с помощью алгоритма Евклида для многочленов.

Пусть $P(x) = x^4+1$ и $Q(x) = x^3+1$.

1. Разделим $P(x)$ на $Q(x)$ с остатком. Деление многочленов "уголком" дает:
$x^4+1 = x \cdot (x^3+1) + (-x+1)$
Первый остаток: $R_1(x) = -x+1$.

2. Теперь разделим предыдущий делитель $Q(x)$ на полученный остаток $R_1(x)$:
$x^3+1 = (-x^2-x-1) \cdot (-x+1) + 2$
Второй остаток: $R_2(x) = 2$.

Поскольку последний ненулевой остаток является константой (число 2), это означает, что НОД многочленов $x^4+1$ и $x^3+1$ равен 2. Так как НОД — константа, у многочленов нет общих нетривиальных множителей (многочленов степени больше нуля), и, следовательно, дробь является несократимой.
Ответ: Дробь несократима.

б) Аналогично докажем несократимость дроби $\frac{x^3+9}{x^2-1}$. Воспользуемся алгоритмом Евклида для нахождения НОД числителя $P(x) = x^3+9$ и знаменателя $Q(x) = x^2-1$.

1. Разделим $P(x)$ на $Q(x)$ с остатком:
$x^3+9 = x \cdot (x^2-1) + (x+9)$
Первый остаток: $R_1(x) = x+9$.

2. Разделим предыдущий делитель $Q(x)$ на остаток $R_1(x)$:
$x^2-1 = (x-9) \cdot (x+9) + 80$
Второй остаток: $R_2(x) = 80$.

Последний ненулевой остаток — это константа 80. Следовательно, НОД многочленов $x^3+9$ и $x^2-1$ равен 80. Так как НОД является константой, многочлены не имеют общих нетривиальных делителей, и дробь несократима.
Ответ: Дробь несократима.

2.32 Найдите многочлен А, для которого верно равенство:

а) $x^{12} - 1 = (x^4 - 1) \cdot A;$

в) $x^{12} - 1 = (x^2 - 1) \cdot A;$

д) $x^{12} - 1 = (x - 1) \cdot A;$

ж) $x^6 - 64 = (x - 2) \cdot A;$

б) $x^{12} - 1 = (x^2 + 1) \cdot A;$

г) $x^{12} - 1 = (x + 1) \cdot A;$

е) $x^5 - 32 = (x - 2) \cdot A;$

з) $x^7 - 128 = (x - 2) \cdot A.$

а) Чтобы найти многочлен $A$, необходимо разделить $x^{12} - 1$ на $x^4 - 1$. Для этого представим $x^{12}$ как $(x^4)^3$ и воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^{12} - 1 = (x^4)^3 - 1^3 = (x^4 - 1)((x^4)^2 + x^4 \cdot 1 + 1^2) = (x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)$.
Сравнивая полученное выражение с исходным равенством $x^{12} - 1 = (x^4 - 1) \cdot A$, находим $A$.
Ответ: $A = x^8 + x^4 + 1$.

б) Чтобы найти многочлен $A$, нужно разделить $x^{12} - 1$ на $x^2 + 1$. Разложим $x^{12} - 1$ на множители, используя формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^{12} - 1 = (x^6 - 1)(x^6 + 1) = (x^6 - 1)((x^2)^3 + 1^3) = (x^6 - 1)(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$.
Отсюда $A = \frac{(x^6 - 1)(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)}{x^2 + 1} = (x^6 - 1)(x^4 - x^2 + 1)$.
Раскроем скобки: $A = x^{10} - x^8 + x^6 - x^4 + x^2 - 1$.
Ответ: $A = x^{10} - x^8 + x^6 - x^4 + x^2 - 1$.

в) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^{12} - 1$ на $x^2 - 1$. Сделаем замену $y = x^2$. Тогда $x^{12} = y^6$. Выражение принимает вид $y^6 - 1 = (y - 1) \cdot A$.
Для нахождения $A$ воспользуемся формулой разности степеней: $\frac{a^n-b^n}{a-b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}$.
$A = \frac{y^6 - 1}{y - 1} = y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y + 1$.
Выполним обратную замену $y = x^2$: $A = (x^2)^5 + (x^2)^4 + (x^2)^3 + (x^2)^2 + x^2 + 1 = x^{10} + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1$.
Ответ: $A = x^{10} + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1$.

г) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^{12} - 1$ на $x + 1$. Можно выполнить деление многочленов столбиком или использовать тот факт, что $x=-1$ является корнем многочлена $x^{12} - 1$.
При делении $x^{2n}-1$ на $x+1$ частное равно $x^{2n-1} - x^{2n-2} + \dots + x - 1$.
В нашем случае $2n=12$, поэтому:
$A = \frac{x^{12} - 1}{x + 1} = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$.
Ответ: $A = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$.

д) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^{12} - 1$ на $x - 1$. Воспользуемся формулой разности степеней:
$A = \frac{x^{12} - 1^{12}}{x - 1} = x^{11} + x^{10} \cdot 1^1 + \dots + 1^{11} = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Ответ: $A = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

е) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^5 - 32$ на $x - 2$. Заметим, что $32 = 2^5$.
Воспользуемся формулой разности степеней $\frac{a^n-b^n}{a-b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}$ для $a=x$, $b=2$ и $n=5$:
$A = \frac{x^5 - 2^5}{x - 2} = x^4 + x^3 \cdot 2^1 + x^2 \cdot 2^2 + x^1 \cdot 2^3 + 2^4 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$.
Ответ: $A = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$.

ж) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^6 - 64$ на $x - 2$. Заметим, что $64 = 2^6$.
Используем ту же формулу для $a=x$, $b=2$ и $n=6$:
$A = \frac{x^6 - 2^6}{x - 2} = x^5 + x^4 \cdot 2^1 + x^3 \cdot 2^2 + x^2 \cdot 2^3 + x^1 \cdot 2^4 + 2^5 = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32$.
Ответ: $A = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32$.

з) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^7 - 128$ на $x - 2$. Заметим, что $128 = 2^7$.
Используем формулу разности степеней для $a=x$, $b=2$ и $n=7$:
$A = \frac{x^7 - 2^7}{x - 2} = x^6 + x^5 \cdot 2^1 + x^4 \cdot 2^2 + x^3 \cdot 2^3 + x^2 \cdot 2^4 + x^1 \cdot 2^5 + 2^6 = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64$.
Ответ: $A = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64$.