Страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.21 Найдите средний член разложения по формуле бинома Ньютона:

а) $(a + 3)^6$;

б) $(3a - 4x)^8$;

в) $(5 + 2x)^{14}$.

Формула для $(k+1)$-го члена разложения бинома Ньютона $(x+y)^n$ имеет вид: $T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент. Разложение бинома $(x+y)^n$ содержит $n+1$ член. Если показатель степени $n$ — четное число, как во всех представленных случаях, то разложение имеет один средний член. Номер этого члена $m = \frac{n}{2} + 1$. Следовательно, для нахождения среднего члена нужно подставить $k = \frac{n}{2}$ в общую формулу члена разложения: $T_{\frac{n}{2}+1} = C_n^{n/2} x^{n-n/2} y^{n/2} = C_n^{n/2} x^{n/2} y^{n/2}$.

а) Для разложения $(a+3)^6$ имеем: первый член $x = a$, второй член $y = 3$ и показатель степени $n = 6$.

Поскольку $n=6$ — четное число, разложение имеет один средний член. Его номер $m = \frac{6}{2} + 1 = 4$.

Для нахождения 4-го члена ($T_4$) используем формулу $T_{k+1}$ при $k=3$:$T_4 = T_{3+1} = C_6^3 a^{6-3} 3^3$.

Вычислим биномиальный коэффициент:$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Подставим все значения в формулу:$T_4 = 20 \cdot a^3 \cdot 3^3 = 20 \cdot a^3 \cdot 27 = 540a^3$.

Ответ: $540a^3$.

б) Для разложения $(3a - 4x)^8$ имеем: первый член $x = 3a$, второй член $y = -4x$ и показатель степени $n = 8$.

Поскольку $n=8$ — четное число, разложение имеет один средний член. Его номер $m = \frac{8}{2} + 1 = 5$.

Для нахождения 5-го члена ($T_5$) используем формулу $T_{k+1}$ при $k=4$:$T_5 = T_{4+1} = C_8^4 (3a)^{8-4} (-4x)^4$.

Вычислим биномиальный коэффициент:$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$.

Вычислим степени:$(3a)^4 = 3^4 a^4 = 81a^4$.$(-4x)^4 = (-4)^4 x^4 = 256x^4$.

Подставим все значения в формулу:$T_5 = 70 \cdot (81a^4) \cdot (256x^4) = (70 \cdot 81 \cdot 256) a^4 x^4 = 1451520 a^4 x^4$.

Ответ: $1451520a^4x^4$.

в) Для разложения $(5 + 2x)^{14}$ имеем: первый член $x = 5$, второй член $y = 2x$ и показатель степени $n = 14$.

Поскольку $n=14$ — четное число, разложение имеет один средний член. Его номер $m = \frac{14}{2} + 1 = 8$.

Для нахождения 8-го члена ($T_8$) используем формулу $T_{k+1}$ при $k=7$:$T_8 = T_{7+1} = C_{14}^7 (5)^{14-7} (2x)^7 = C_{14}^7 5^7 (2x)^7$.

Вычислим биномиальный коэффициент:$C_{14}^7 = \frac{14!}{7!(14-7)!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3432$.

Подставим значения в формулу:$T_8 = 3432 \cdot 5^7 \cdot (2x)^7 = 3432 \cdot 5^7 \cdot 2^7 \cdot x^7$.

Сгруппируем степени с одинаковым показателем:$T_8 = 3432 \cdot (5 \cdot 2)^7 \cdot x^7 = 3432 \cdot 10^7 \cdot x^7 = 34320000000x^7$.

Ответ: $3432 \cdot 10^7 x^7$.

2.22 Упростите выражение:

а) $(a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3;$

б) $(a + b)^3 + (a - b)^3 - 2a^3;$

в) $(a + b)^3 - (a^3 + b^3);$

г) $(a - b)^3 + (b^3 - a^3).$

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:
Куб суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Куб разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$(a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) - 2b^3$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 - 2b^3$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^3 - a^3) + (3a^2b + 3a^2b) + (3ab^2 - 3ab^2) + (b^3 + b^3 - 2b^3) = 0 + 6a^2b + 0 + (2b^3 - 2b^3) = 6a^2b$
Ответ: $6a^2b$

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулы куба суммы и куба разности:
$(a + b)^3 + (a - b)^3 - 2a^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) - 2a^3$
Раскроем скобки:
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 - 2a^3$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^3 + a^3 - 2a^3) + (3a^2b - 3a^2b) + (3ab^2 + 3ab^2) + (b^3 - b^3) = (2a^3 - 2a^3) + 0 + 6ab^2 + 0 = 6ab^2$
Ответ: $6ab^2$

в) Используем формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и подставим ее в выражение:
$(a + b)^3 - (a^3 + b^3) = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 + b^3)$
Раскроем скобки:
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 - b^3$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^3 - a^3) + (b^3 - b^3) + 3a^2b + 3ab^2 = 0 + 0 + 3a^2b + 3ab^2 = 3a^2b + 3ab^2$
Ответ: $3a^2b + 3ab^2$

г) Используем формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и подставим ее в выражение:
$(a - b)^3 + (b^3 - a^3) = (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (b^3 - a^3)$
Раскроем скобки:
$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + b^3 - a^3$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^3 - a^3) + (-b^3 + b^3) - 3a^2b + 3ab^2 = 0 + 0 - 3a^2b + 3ab^2 = 3ab^2 - 3a^2b$
Ответ: $3ab^2 - 3a^2b$

Докажите равенство (2.23–2.24):

2.23 a) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1) = a^{16} - 1;$

б) $(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)(b^8 + c^8) = \frac{b^{16} - c^{16}}{b - c} (b \ne c).$

а)

Для доказательства данного равенства будем последовательно преобразовывать его левую часть, многократно применяя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

1. Начнем с произведения первых двух скобок:
$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.

2. Подставим полученный результат в исходное выражение. Теперь оно выглядит так:
$(a^2 - 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)$.
Снова применим формулу разности квадратов к первым двум множителям:
$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.

3. Выражение примет вид:
$(a^4 - 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)$.
Продолжаем по аналогии:
$(a^4 - 1)(a^4 + 1) = (a^4)^2 - 1^2 = a^8 - 1$.

4. Остается последнее умножение:
$(a^8 - 1)(a^8 + 1) = (a^8)^2 - 1^2 = a^{16} - 1$.

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1) = a^{16} - 1$ доказано.

б)

Для доказательства этого равенства преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как $L$:
$L = (b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)(b^8 + c^8)$.

По условию $b \neq c$, следовательно, выражение $(b - c)$ не равно нулю. Мы можем умножить и разделить левую часть на $(b - c)$, не изменив ее значения:
$L = \frac{(b - c)(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)(b^8 + c^8)}{b - c}$.

Теперь рассмотрим числитель полученной дроби. Мы можем последовательно применять формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, как и в предыдущем пункте.

1. $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$.

2. $(b^2 - c^2)(b^2 + c^2) = (b^2)^2 - (c^2)^2 = b^4 - c^4$.

3. $(b^4 - c^4)(b^4 + c^4) = (b^4)^2 - (c^4)^2 = b^8 - c^8$.

4. $(b^8 - c^8)(b^8 + c^8) = (b^8)^2 - (c^8)^2 = b^{16} - c^{16}$.

Итак, числитель дроби равен $b^{16} - c^{16}$. Подставим это значение обратно в выражение для $L$:
$L = \frac{b^{16} - c^{16}}{b - c}$.

Мы показали, что левая часть исходного равенства равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Равенство $(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)(b^8 + c^8) = \frac{b^{16} - c^{16}}{b - c}$ доказано.

2.24 a) $(b+2)(b^2-2b+4)(b^3-8) = b^6 - 64;$

б) $(a-c)(a^2+ac+c^2)(a^3+c^3)+c^6 = a^6.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть $(b + 2)(b^2 - 2b + 4)(b^3 - 8)$, используя формулы сокращенного умножения.

Сначала рассмотрим произведение первых двух множителей: $(b + 2)(b^2 - 2b + 4)$. Это формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

В нашем случае $x = b$ и $y = 2$. Применяя формулу, получаем:

$(b + 2)(b^2 - 2b + 4) = b^3 + 2^3 = b^3 + 8$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного тождества:

$(b^3 + 8)(b^3 - 8)$.

Это выражение является формулой разности квадратов: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = b^3$ и $y = 8$. Применяя формулу, получаем:

$(b^3 + 8)(b^3 - 8) = (b^3)^2 - 8^2 = b^6 - 64$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой: $b^6 - 64 = b^6 - 64$.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть $(a - c)(a^2 + ac + c^2)(a^3 + c^3) + c^6$.

Рассмотрим произведение первых двух множителей: $(a - c)(a^2 + ac + c^2)$. Это формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем случае $x = a$ и $y = c$. Применяя формулу, получаем:

$(a - c)(a^2 + ac + c^2) = a^3 - c^3$.

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$(a^3 - c^3)(a^3 + c^3) + c^6$.

Произведение $(a^3 - c^3)(a^3 + c^3)$ является формулой разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = a^3$ и $y = c^3$. Применяя формулу, получаем:

$(a^3 - c^3)(a^3 + c^3) = (a^3)^2 - (c^3)^2 = a^6 - c^6$.

Теперь вернемся к полному выражению левой части и подставим полученный результат:

$(a^6 - c^6) + c^6 = a^6 - c^6 + c^6 = a^6$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна правой: $a^6 = a^6$.

Ответ: Тождество доказано.

2.25* Сократите дробь:

а) $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$;

б) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$;

в) $\frac{a^5 - b^5}{a^3 - b^3}$;

г) $\frac{a^5 + b^5}{a^7 + b^7}$;

д) $\frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{a^4 - b^4}$;

е) $\frac{a^5 + b^5}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$;

ж) $\frac{a^3 - 8}{a^4 - 16}$;

з) $\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9}$;

и) $\frac{a^5 - 32}{a^3 - 8}$;

к) $\frac{a^5 + 32}{a^7 + 128}$;

л) $\frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 16}$;

м) $\frac{a^5 + 1}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$.

а) Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Знаменатель — разность квадратов: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
$\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$:
$\frac{a^2 + ab + b^2}{(a + b)(a^2 + b^2)}$
Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{(a + b)(a^2 + b^2)}$

б) Разложим числитель по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
$\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$:
$a + b$
Ответ: $a + b$

в) Разложим числитель и знаменатель на множители по формулам разности степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
$a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$\frac{a^5 - b^5}{a^3 - b^3} = \frac{(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$
Сократим дробь на $(a - b)$:
$\frac{a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4}{a^2 + ab + b^2}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4}{a^2 + ab + b^2}$

г) Разложим числитель и знаменатель по формулам суммы нечетных степеней: $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ для нечетных $n$.
$a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$
$a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)$
$\frac{a^5 + b^5}{a^7 + b^7} = \frac{(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)}{(a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)}$
Сократим дробь на $(a + b)$:
$\frac{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}{a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6}$
Ответ: $\frac{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}{a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6}$

д) Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим метод группировки:
$a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 = a^2(a + b) + b^2(a + b) = (a^2 + b^2)(a + b)$
Знаменатель — разность квадратов: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
$\frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{a^4 - b^4} = \frac{(a^2 + b^2)(a + b)}{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}$
Сократим дробь на общие множители $(a^2 + b^2)$ и $(a + b)$:
$\frac{1}{a - b}$
Ответ: $\frac{1}{a - b}$

е) Разложим числитель по формуле суммы пятых степеней: $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
$\frac{a^5 + b^5}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4} = \frac{(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$
Сократим дробь на общий множитель $(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$:
$a + b$
Ответ: $a + b$

ж) Разложим числитель и знаменатель на множители, представив $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$.
Числитель — разность кубов: $a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Знаменатель — разность квадратов: $a^4 - 16 = a^4 - 2^4 = (a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
$\frac{a^3 - 8}{a^4 - 16} = \frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a - 2)$:
$\frac{a^2 + 2a + 4}{(a + 2)(a^2 + 4)}$
Ответ: $\frac{a^2 + 2a + 4}{(a + 2)(a^2 + 4)}$

з) Разложим числитель на множители по формуле суммы кубов: $a^3 + 27 = a^3 + 3^3 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$. В знаменателе $a^4 - 3a + 9$ нет множителей, совпадающих с множителями числителя, поэтому в исходном виде дробь не сокращается. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и знаменатель должен быть $a^2 - 3a + 9$. При таком условии решение будет следующим:
$\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9} = \frac{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}{a^2 - 3a + 9}$
Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - 3a + 9)$:
$a + 3$
Ответ: $a + 3$

и) Разложим числитель и знаменатель на множители, представив $32 = 2^5$ и $8 = 2^3$.
$a^5 - 32 = a^5 - 2^5 = (a - 2)(a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16)$
$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$
$\frac{a^5 - 32}{a^3 - 8} = \frac{(a - 2)(a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$
Сократим дробь на $(a - 2)$:
$\frac{a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16}{a^2 + 2a + 4}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16}{a^2 + 2a + 4}$

к) Разложим числитель и знаменатель на множители, представив $32 = 2^5$ и $128 = 2^7$.
$a^5 + 32 = a^5 + 2^5 = (a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)$
$a^7 + 128 = a^7 + 2^7 = (a + 2)(a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64)$
$\frac{a^5 + 32}{a^7 + 128} = \frac{(a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)}{(a + 2)(a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64)}$
Сократим дробь на $(a + 2)$:
$\frac{a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16}{a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64}$
Ответ: $\frac{a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16}{a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64}$

л) Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим метод группировки:
$a^3 + 2a^2 + 4a + 8 = a^2(a + 2) + 4(a + 2) = (a^2 + 4)(a + 2)$
Знаменатель — разность квадратов: $a^4 - 16 = (a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
$\frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 16} = \frac{(a^2 + 4)(a + 2)}{(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)}$
Сократим дробь на общие множители $(a^2 + 4)$ и $(a + 2)$:
$\frac{1}{a - 2}$
Ответ: $\frac{1}{a - 2}$

м) Разложим числитель по формуле суммы пятых степеней: $a^5 + 1 = a^5 + 1^5 = (a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$.
$\frac{a^5 + 1}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1} = \frac{(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$
Сократим дробь на общий множитель $(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$:
$a + 1$
Ответ: $a + 1$

2.26* Сократима ли дробь:

а) $\frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}}$;б) $\frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1}$?

а)

Рассмотрим дробь $\frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}}$. Чтобы определить, является ли дробь сократимой, нужно проверить, имеют ли ее числитель и знаменатель общий делитель, отличный от 1.

Воспользуемся формулой суммы нечетных степеней: $x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + \dots + y^{n-1})$, которая верна для любого нечетного натурального числа $n$.

Числитель дроби — это $a^{1999} + b^{1999}$. Поскольку степень 1999 является нечетным числом, мы можем применить эту формулу:

$a^{1999} + b^{1999} = (a+b)(a^{1998} - a^{1997}b + a^{1996}b^2 - \dots + b^{1998})$.

Из этого следует, что числитель делится на $(a+b)$.

Знаменатель дроби — это $a^{1997} + b^{1997}$. Степень 1997 также является нечетным числом. Применим ту же формулу:

$a^{1997} + b^{1997} = (a+b)(a^{1996} - a^{1995}b + a^{1994}b^2 - \dots + b^{1996})$.

Из этого следует, что и знаменатель делится на $(a+b)$.

Поскольку и числитель, и знаменатель имеют общий множитель $(a+b)$, данная дробь является сократимой (если рассматривать $a$ и $b$ как переменные).

Ответ: да, сократима.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1}$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя с помощью алгоритма Евклида для многочленов.

Пусть числитель $P(a) = a^{1999} - 1$ и знаменатель $Q(a) = a^{1998} - 1$.

Разделим $P(a)$ на $Q(a)$ с остатком:

$a^{1999} - 1 = a \cdot a^{1998} - 1 = a \cdot a^{1998} - a + a - 1 = a(a^{1998} - 1) + (a - 1)$.

Остаток от деления равен $(a-1)$.

Согласно алгоритму Евклида, НОД исходных многочленов равен НОД делителя и остатка:

$\text{НОД}(a^{1999} - 1, a^{1998} - 1) = \text{НОД}(a^{1998} - 1, a - 1)$.

Теперь нужно проверить, делится ли многочлен $a^{1998} - 1$ на $(a - 1)$. Согласно теореме Безу, многочлен $R(a)$ делится на двучлен $(a-c)$ тогда и только тогда, когда $R(c) = 0$.

В нашем случае $R(a) = a^{1998} - 1$ и $c=1$. Проверим значение $R(1)$:

$R(1) = 1^{1998} - 1 = 1 - 1 = 0$.

Так как $R(1) = 0$, многочлен $a^{1998} - 1$ делится на $(a - 1)$ без остатка. Следовательно,

$\text{НОД}(a^{1998} - 1, a - 1) = a - 1$.

Таким образом, наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен $(a-1)$. Поскольку они имеют общий множитель, отличный от 1 (в общем случае), дробь является сократимой.

Ответ: да, сократима.