Страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1°

a) Что называют: одночленом; многочленом?

б) Можно ли любое число считать многочленом?

в) Является ли сумма, разность, произведение двух многочленов многочленом?

а)

Одночленом называют алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней с натуральными (целыми неотрицательными) показателями. Также одночленами считают сами числа и переменные.
Например: $5$, $x$, $-7a^2b^3$, $0.25y^4$.

Многочленом называют алгебраическую сумму нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называют его членами. Одночлен также считается частным случаем многочлена, состоящего из одного члена.
Например: $3x^2 + 2x - 5$, $a^3 - b^3$, $8xy$.

Ответ: Одночлен — это произведение чисел и переменных в степенях. Многочлен — это сумма одночленов.

б)

Да, любое число можно считать многочленом.
Любое число, например 7, является одночленом. Его можно представить как одночлен, не содержащий переменных, или как одночлен с переменной в нулевой степени (например, $7x^0$), так как любое число в степени 0 равно 1.
Поскольку по определению любой одночлен является многочленом (состоящим из одного члена), то и любое число можно считать многочленом. Такой многочлен называют многочленом нулевой степени (если число не равно нулю).

Ответ: Да, можно.

в)

Да, сумма, разность и произведение двух многочленов всегда являются многочленом. Это означает, что множество многочленов замкнуто относительно этих операций.

• Сумма: При сложении двух многочленов мы складываем их члены (одночлены) и приводим подобные слагаемые. Результатом является новое выражение, которое также представляет собой сумму одночленов, то есть многочлен. Например, $(x^2 + 1) + (2x - 3) = x^2 + 2x - 2$.
• Разность: Вычитание одного многочлена из другого равносильно прибавлению многочлена, все члены которого умножены на $-1$. Так как произведение многочлена на число является многочленом, а сумма многочленов — многочлен, то и разность двух многочленов является многочленом. Например, $(x^2 + 1) - (2x - 3) = x^2 + 1 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 4$.
• Произведение: При умножении двух многочленов каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого по правилу дистрибутивности. Произведение двух одночленов всегда является одночленом (например, $(ax^n) \cdot (by^m) = abx^{n+m})$). Итоговое выражение представляет собой сумму таких одночленов, что по определению является многочленом. Например, $(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$.

Ответ: Да, является.

2.2 Докажите справедливость следующих формул сокращённого умножения:

a) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$;

б) $a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$;

в) $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$.

а) Для доказательства справедливости формулы преобразуем её левую часть. Раскроем скобки, рассмотрев выражение $(a+b+c)^2$ как произведение двух одинаковых многочленов $(a+b+c)(a+b+c)$ и выполнив умножение каждого члена первого многочлена на каждый член второго:
$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = a \cdot (a+b+c) + b \cdot (a+b+c) + c \cdot (a+b+c)$
$= (a^2 + ab + ac) + (ba + b^2 + bc) + (ca + cb + c^2)$
Сгруппируем подобные слагаемые, учитывая, что $ab=ba$, $ac=ca$ и $bc=cb$:
$= a^2 + b^2 + c^2 + (ab+ba) + (ac+ca) + (bc+cb)$
$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходной формулы, что и доказывает её справедливость.
Ответ: Тождество $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ доказано.

б) Для доказательства преобразуем правую часть равенства. Раскроем скобки, умножив многочлен $(a-b)$ на многочлен $(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$:
$(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) = a(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) - b(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$
Выполним умножение и получим:
$= (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3) - (a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$= a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 - a^3b - a^2b^2 - ab^3 - b^4$
Промежуточные члены взаимно уничтожаются:
$= a^4 + (a^3b - a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (ab^3 - ab^3) - b^4 = a^4 - b^4$
Полученное выражение совпадает с левой частью исходной формулы.
Ответ: Тождество $a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$ доказано.

в) Доказательство проводится аналогично предыдущему пункту путем преобразования правой части равенства. Раскроем скобки, перемножив многочлены $(a-b)$ и $(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$:
$(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) - b(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
Выполним умножение:
$= (a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4) - (a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$= a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 - a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 - b^5$
После сокращения всех промежуточных членов получаем:
$= a^5 - b^5$
Полученное выражение совпадает с левой частью исходной формулы. Данная формула является частным случаем общей формулы разности n-ых степеней: $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$.
Ответ: Тождество $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$ доказано.

2.3°

а) Что называют алгебраической дробью?

б) Является ли любой многочлен, любое число алгебраической дробью?

в) Какое выражение называют рациональным выражением? Приведите примеры рациональных выражений.

а) Что называют алгебраической дробью?

Алгебраической дробью называют выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — это многочлены. Многочлен $A$ является числителем дроби, а многочлен $B$ — её знаменателем. При этом знаменатель $B$ не может быть нулевым многочленом (т.е. тождественно равным нулю), так как на ноль делить нельзя.

Например, выражения $\frac{x-y}{x+y}$, $\frac{a^2+1}{5b}$, $\frac{7}{z^3-8}$ являются алгебраическими дробями.

Ответ: Алгебраической дробью называют частное от деления двух многочленов $\frac{A}{B}$, где $A$ – числитель, а $B$ – знаменатель, причем $B$ не является нулевым многочленом.

б) Является ли любой многочлен, любое число алгебраической дробью?

Да, любой многочлен, как и любое число, является алгебраической дробью. Это связано с тем, что любое такое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем, равным 1.

Например, многочлен $P$ можно записать как $\frac{P}{1}$. Так как и $P$ (данный многочлен), и 1 (многочлен нулевой степени) являются многочленами, то выражение $\frac{P}{1}$ полностью соответствует определению алгебраической дроби.

Примеры:

• Многочлен $x^2 + 2x + 1$ можно представить как дробь $\frac{x^2 + 2x + 1}{1}$.
• Число $5$ можно представить как дробь $\frac{5}{1}$.

Ответ: Да, является, так как любой многочлен или число можно представить в виде алгебраической дроби, знаменатель которой равен 1.

в) Какое выражение называют рациональным выражением? Приведите примеры рациональных выражений.

Рациональным выражением называют алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью арифметических действий: сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Фактически, это любое выражение, которое можно представить в виде алгебраической дроби $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены.

Рациональные выражения делятся на два вида:

• Целые рациональные выражения — это выражения, не содержащие деления на переменную. По сути, это все многочлены.
• Дробные рациональные выражения — это выражения, которые содержат деление на переменную.

Таким образом, и многочлены, и алгебраические дроби являются рациональными выражениями.

Примеры рациональных выражений:

• $5x^2 - y^3$ (целое рациональное выражение)
• $\frac{a+b}{c}$ (дробное рациональное выражение)
• $15$ (целое рациональное выражение, так как это многочлен)
• $\frac{2x}{x-1} - \frac{3}{y}$ (дробное рациональное выражение)

Ответ: Рациональным выражением называют выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в натуральную степень). Примеры: $a^2+b^2$, $\frac{x-5}{y}$, $2c + \frac{1}{c}$.

2.4 Сократите алгебраическую дробь:

а) $\frac{x^2 - 1}{x + 1}$;

б) $\frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x + 4}$;

в) $\frac{x^4 + 27x}{x^2 + 3x}$;

г) $\frac{x^6 - 1}{x - 1}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 1}{x + 1}$, разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$.
Сократим общий множитель $(x + 1)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x + 1 \neq 0$.
$\frac{(x - 1)\cancel{(x + 1)}}{\cancel{(x + 1)}} = x - 1$.
Ответ: $x - 1$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x + 4}$, разложим числитель на множители по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x^2 + 2x + 4}$.
Сократим общий множитель $(x^2 + 2x + 4)$ в числителе и знаменателе.
$\frac{(x - 2)\cancel{(x^2 + 2x + 4)}}{\cancel{(x^2 + 2x + 4)}} = x - 2$.
Ответ: $x - 2$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{x^4 + 27x}{x^2 + 3x}$, сначала вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе: $x^4 + 27x = x(x^3 + 27)$.
В знаменателе: $x^2 + 3x = x(x + 3)$.
Дробь примет вид: $\frac{x(x^3 + 27)}{x(x + 3)}$.
Сократим на $x$ (при $x \neq 0$): $\frac{x^3 + 27}{x + 3}$.
Теперь разложим числитель $x^3 + 27$ по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - x \cdot 3 + 3^2) = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.
Подставим это в дробь: $\frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{x + 3}$.
Сократим на $(x + 3)$ (при $x+3 \neq 0$): $x^2 - 3x + 9$.
Ответ: $x^2 - 3x + 9$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{x^6 - 1}{x - 1}$, разложим числитель на множители. Это можно сделать несколькими способами. Воспользуемся общей формулой для разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.
В данном случае $a=x$, $b=1$ и $n=6$.
$x^6 - 1 = (x - 1)(x^5 + x^4\cdot1 + x^3\cdot1^2 + x^2\cdot1^3 + x\cdot1^4 + 1^5) = (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{(x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1}$.
Сократим общий множитель $(x - 1)$ (при $x - 1 \neq 0$):
$x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Ответ: $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

2.5 Приведите к знаменателю $x^2 - 25$ алгебраическую дробь:

а) $\frac{1}{x+5}$;

б) $\frac{x}{x-5}$;

в) $\frac{3}{5-x}$;

г) 2.

а) Чтобы привести дробь $\frac{1}{x+5}$ к знаменателю $x^2-25$, необходимо сначала разложить новый знаменатель на множители. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.
Текущий знаменатель дроби равен $(x+5)$. Чтобы получить новый знаменатель $(x-5)(x+5)$, нужно домножить текущий знаменатель на дополнительный множитель $(x-5)$.
Согласно основному свойству дроби, чтобы значение дроби не изменилось, необходимо умножить на этот же множитель и числитель.
$\frac{1}{x+5} = \frac{1 \cdot (x-5)}{(x+5) \cdot (x-5)} = \frac{x-5}{x^2-25}$.
Ответ: $\frac{x-5}{x^2-25}$.

б) Приводим дробь $\frac{x}{x-5}$ к знаменателю $x^2-25$.
Новый знаменатель в разложенном виде: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.
Текущий знаменатель дроби равен $(x-5)$. Чтобы получить новый знаменатель, нужно домножить текущий знаменатель на дополнительный множитель $(x+5)$.
Умножаем числитель и знаменатель на $(x+5)$:
$\frac{x}{x-5} = \frac{x \cdot (x+5)}{(x-5) \cdot (x+5)} = \frac{x^2+5x}{x^2-25}$.
Ответ: $\frac{x^2+5x}{x^2-25}$.

в) Приводим дробь $\frac{3}{5-x}$ к знаменателю $x^2-25$.
Разложение нового знаменателя: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.
Заметим, что текущий знаменатель $5-x$ связан со множителем $(x-5)$ соотношением $5-x = -(x-5)$.
Преобразуем дробь, вынеся минус за скобки в знаменателе: $\frac{3}{5-x} = \frac{3}{-(x-5)} = -\frac{3}{x-5}$.
Теперь, чтобы получить в знаменателе $(x-5)(x+5)$, нужно домножить знаменатель $(x-5)$ на $(x+5)$. Умножаем числитель и знаменатель на этот множитель:
$-\frac{3}{x-5} = -\frac{3 \cdot (x+5)}{(x-5) \cdot (x+5)} = -\frac{3x+15}{x^2-25} = \frac{-(3x+15)}{x^2-25} = \frac{-3x-15}{x^2-25}$.
Ответ: $\frac{-3x-15}{x^2-25}$.

г) Приводим число 2 к знаменателю $x^2-25$.
Любое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. То есть, $2 = \frac{2}{1}$.
Чтобы получить в знаменателе $x^2-25$, нужно домножить 1 на $x^2-25$.
Умножаем числитель и знаменатель на $(x^2-25)$:
$\frac{2}{1} = \frac{2 \cdot (x^2-25)}{1 \cdot (x^2-25)} = \frac{2x^2-50}{x^2-25}$.
Ответ: $\frac{2x^2-50}{x^2-25}$.

Упростите выражение (2.6—2.9):

2.6 а) $\frac{5}{x-1} + \frac{x}{x-1}$;

б) $\frac{6}{x-1} + \frac{x}{1-x}$;

в) $\frac{x}{x+2} - \frac{x}{x-2}$;

г) $\frac{1}{x^2-9} + \frac{2-x}{x-3}$.

а) $ \frac{5}{x-1} + \frac{x}{x-1} $

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем сложить их числители, оставив общий знаменатель без изменений. Это правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

$ \frac{5}{x-1} + \frac{x}{x-1} = \frac{5+x}{x-1} $

Выражение в числителе $x+5$ и в знаменателе $x-1$ не имеют общих множителей, поэтому дальнейшее сокращение дроби невозможно.

Ответ: $ \frac{x+5}{x-1} $.

б) $ \frac{6}{x-1} + \frac{x}{1-x} $

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $x-1$ и $1-x$ являются противоположными выражениями, так как $1-x = -(x-1)$. Мы можем изменить знак знаменателя второй дроби, поменяв при этом знак перед самой дробью:

$ \frac{x}{1-x} = \frac{x}{-(x-1)} = -\frac{x}{x-1} $

Теперь исходное выражение можно переписать и выполнить вычитание:

$ \frac{6}{x-1} - \frac{x}{x-1} = \frac{6-x}{x-1} $

Ответ: $ \frac{6-x}{x-1} $.

в) $ \frac{x}{x+2} - \frac{x}{x-2} $

Здесь знаменатели различны. Наименьшим общим знаменателем будет их произведение: $ (x+2)(x-2) $. Приведем обе дроби к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (x-2) $, а второй дроби — на $ (x+2) $:

$ \frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей. Знаменатель $ (x+2)(x-2) $ можно записать по формуле разности квадратов как $ x^2-4 $.

$ \frac{x(x-2) - x(x+2)}{x^2-4} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{x^2 - 2x - (x^2 + 2x)}{x^2-4} = \frac{x^2 - 2x - x^2 - 2x}{x^2-4} = \frac{-4x}{x^2-4} $

Ответ: $ \frac{-4x}{x^2 - 4} $.

г) $ \frac{1}{x^2-9} + \frac{2-x}{x-3} $

Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3) $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{1}{(x-3)(x+3)} + \frac{2-x}{x-3} $

Общим знаменателем является $ (x-3)(x+3) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $ (x+3) $:

$ \frac{1}{(x-3)(x+3)} + \frac{(2-x)(x+3)}{(x-3)(x+3)} $

Складываем дроби с одинаковым знаменателем:

$ \frac{1 + (2-x)(x+3)}{(x-3)(x+3)} $

Раскроем скобки в числителе: $ (2-x)(x+3) = 2x + 6 - x^2 - 3x = -x^2 - x + 6 $.

Подставим это в числитель и приведем подобные:

$ \frac{1 + (-x^2 - x + 6)}{x^2-9} = \frac{-x^2 - x + 7}{x^2-9} $

Ответ: $ \frac{-x^2 - x + 7}{x^2-9} $.

2.7 a) $\frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{a^3 - b^3};$

Б) $\frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} - \frac{1}{2(m + n)};$

В) $\frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} + \frac{1}{2y - x};$

Г) $\frac{2(p + q)}{p^3 - q^3} + \frac{2}{q^2 - p^2};$

Рассмотрим выражение $\frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{a^3 - b^3}$.

Знаменатель второй дроби представляет собой формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Заметим, что знаменатель первой дроби является множителем в разложении знаменателя второй дроби. Таким образом, общим знаменателем является выражение $a^3 - b^3$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(a - b)$:

$\frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{a^3 - b^3} = \frac{1 \cdot (a - b)}{(a^2 + ab + b^2) \cdot (a - b)} + \frac{b}{a^3 - b^3} = \frac{a - b}{a^3 - b^3} + \frac{b}{a^3 - b^3}$.

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(a - b) + b}{a^3 - b^3} = \frac{a}{a^3 - b^3}$.

Ответ: $\frac{a}{a^3 - b^3}$

Рассмотрим выражение $\frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} - \frac{1}{2(m + n)}$.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов: $m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$.

Выражение примет вид: $\frac{m^2 + n^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} - \frac{1}{2(m + n)}$.

Наименьший общий знаменатель для этих дробей равен $2(m + n)(m^2 - mn + n^2)$, что равно $2(m^3 + n^3)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $2$, а второй — на $(m^2 - mn + n^2)$:

$\frac{2(m^2 + n^2)}{2(m^3 + n^3)} - \frac{1 \cdot (m^2 - mn + n^2)}{2(m + n)(m^2 - mn + n^2)} = \frac{2m^2 + 2n^2}{2(m^3 + n^3)} - \frac{m^2 - mn + n^2}{2(m^3 + n^3)}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(2m^2 + 2n^2) - (m^2 - mn + n^2)}{2(m^3 + n^3)} = \frac{2m^2 + 2n^2 - m^2 + mn - n^2}{2(m^3 + n^3)} = \frac{m^2 + mn + n^2}{2(m^3 + n^3)}$.

Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{2(m^3 + n^3)}$

Рассмотрим выражение $\frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} + \frac{1}{2y - x}$.

Преобразуем знаменатель второй дроби: $2y - x = -(x - 2y)$. Тогда всю дробь можно записать так: $\frac{1}{-(x - 2y)} = -\frac{1}{x - 2y}$.

Выражение примет вид: $\frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} - \frac{1}{x - 2y}$.

Общим знаменателем является $(x - 2y)^3$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(x - 2y)^2$:

$\frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} - \frac{1 \cdot (x - 2y)^2}{(x - 2y) \cdot (x - 2y)^2} = \frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} - \frac{(x - 2y)^2}{(x - 2y)^3}$.

Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе:

$\frac{(x^2 - 2xy) - (x^2 - 4xy + 4y^2)}{(x - 2y)^3} = \frac{x^2 - 2xy - x^2 + 4xy - 4y^2}{(x - 2y)^3} = \frac{2xy - 4y^2}{(x - 2y)^3}$.

Вынесем общий множитель $2y$ в числителе:

$\frac{2y(x - 2y)}{(x - 2y)^3}$.

Сократим дробь на $(x - 2y)$:

$\frac{2y}{(x - 2y)^2}$.

Ответ: $\frac{2y}{(x - 2y)^2}$

Рассмотрим выражение $\frac{2(p + q)}{p^3 - q^3} + \frac{2}{q^2 - p^2}$.

Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности кубов и разности квадратов:

$p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$

$q^2 - p^2 = -(p^2 - q^2) = -(p - q)(p + q)$

Подставим разложения в исходное выражение, изменив знак второй дроби:

$\frac{2(p + q)}{(p - q)(p^2 + pq + q^2)} - \frac{2}{(p - q)(p + q)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{2(p + q)(p + q)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)} - \frac{2(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2(p + q)^2 - 2(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$.

Упростим числитель:

$2(p^2 + 2pq + q^2) - 2(p^2 + pq + q^2) = 2p^2 + 4pq + 2q^2 - 2p^2 - 2pq - 2q^2 = 2pq$.

Итоговое выражение:

$\frac{2pq}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$.

Ответ: $\frac{2pq}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$

2.8 a) $\frac{(ab + b - a - 1)(a - 1)}{(a^2 - 1)(b - 1)} \cdot 3;$

B) $\frac{(a + b)^3 - (a - b)^3}{2b (3a^2 + b^2)} + 1;$

б) $\frac{(a^2 + ab - ac - bc)^2}{(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ac + c^2)} \cdot 4;$

Г) $\frac{(a^2 + ab + b^2)(a - b)^2 (a + b)}{(a^3 - b^3)(a^2 - b^2)}.$

а) Упростим выражение $ \frac{(ab + b - a - 1)(a - 1)}{(a^2 - 1)(b - 1)} \cdot 3 $.

Сначала разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе сгруппируем слагаемые в первой скобке: $ ab + b - a - 1 = b(a + 1) - (a + 1) = (b - 1)(a + 1) $. Таким образом, весь числитель дроби принимает вид: $ (b - 1)(a + 1)(a - 1) $.

В знаменателе используем формулу разности квадратов для выражения $ a^2 - 1 $: $ a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) $. Тогда весь знаменатель дроби равен: $ (a - 1)(a + 1)(b - 1) $.

Подставим разложенные выражения в дробь: $ \frac{(b - 1)(a + 1)(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)(b - 1)} $.

Сократим одинаковые множители $ (a-1) $, $ (a+1) $ и $ (b-1) $. В результате сокращения дробь становится равной 1.

Теперь умножим результат на 3: $ 1 \cdot 3 = 3 $.

Ответ: 3

б) Упростим выражение $ \frac{(a^2 + ab - ac - bc)^2}{(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ac + c^2)} \cdot 4 $.

Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе.

В числителе сгруппируем слагаемые в основании степени: $ a^2 + ab - ac - bc = a(a + b) - c(a + b) = (a - c)(a + b) $. Тогда весь числитель равен $ ((a - c)(a + b))^2 = (a - c)^2(a + b)^2 $.

В знаменателе используем формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности): $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $ и $ a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2 $. Весь знаменатель равен $ (a + b)^2(a - c)^2 $.

Подставим разложенные выражения в дробь: $ \frac{(a - c)^2(a + b)^2}{(a + b)^2(a - c)^2} $.

Сократим одинаковые множители $ (a+b)^2 $ и $ (a-c)^2 $. В результате дробь равна 1.

Теперь умножим результат на 4: $ 1 \cdot 4 = 4 $.

Ответ: 4

в) Упростим выражение $ \frac{(a + b)^3 - (a - b)^3}{2b(3a^2 + b^2)} + 1 $.

Раскроем числитель дроби. Можно использовать формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $, где $ x = a+b $ и $ y = a-b $.

$ (a+b)^3 - (a-b)^3 = ((a+b)-(a-b)) \cdot ((a+b)^2+(a+b)(a-b)+(a-b)^2) $ $ = (a+b-a+b) \cdot (a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2) $ $ = (2b)(3a^2+b^2) $.

Другой способ — раскрыть скобки по формуле куба суммы и куба разности: $ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $ и $ (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $. Тогда $ (a+b)^3 - (a-b)^3 = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) - (a^3-3a^2b+3ab^2-b^3) = 2 \cdot (3a^2b) + 2b^3 = 6a^2b + 2b^3 = 2b(3a^2+b^2) $.

Подставим полученное выражение в числитель дроби: $ \frac{2b(3a^2+b^2)}{2b(3a^2+b^2)} $.

Сократим дробь, она равна 1 (при условии $ b \neq 0 $ и $ 3a^2+b^2 \neq 0 $).

Теперь выполним сложение: $ 1 + 1 = 2 $.

Ответ: 2

г) Упростим выражение $ \frac{(a^2 + ab + b^2)(a - b)^2(a + b)}{(a^3 - b^3)(a^2 - b^2)} $.

Разложим на множители выражения в знаменателе.

Используем формулу разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.

Используем формулу разности квадратов: $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $.

Тогда знаменатель равен: $ (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a - b)(a + b) = (a^2 + ab + b^2)(a - b)^2(a + b) $.

Подставим разложенный знаменатель в дробь: $ \frac{(a^2 + ab + b^2)(a - b)^2(a + b)}{(a^2 + ab + b^2)(a - b)^2(a + b)} $.

Числитель и знаменатель дроби идентичны, поэтому при их сокращении (при допустимых значениях переменных) получаем 1.

Ответ: 1

2.9 a) $\frac{1}{a - b} - \frac{1}{b - a} - \frac{2a}{a^2 - b^2};$

б) $\frac{x^2 - y^2}{2y^2} \cdot \frac{xy + y^2}{(x + y)^2};$

В) $\frac{(a + b)^3 + (a - b)^3}{2ab (a^2 + 3b^2)} - 1;$

Г) $\frac{(a^2 - ab + b^2) (a + b)^2 (a - b)}{(a^3 + b^3) (a^2 - b^2)}.$

а)

Упростим выражение $\frac{1}{a-b} - \frac{1}{b-a} - \frac{2a}{a^2-b^2}$.

Сначала преобразуем знаменатель второй дроби: $b-a = -(a-b)$. Это позволяет изменить знак перед дробью: $-\frac{1}{b-a} = -\frac{1}{-(a-b)} = +\frac{1}{a-b}$.

Далее, разложим на множители знаменатель третьей дроби, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде: $\frac{1}{a-b} + \frac{1}{a-b} - \frac{2a}{(a-b)(a+b)}$

Сложим первые две дроби, так как у них одинаковые знаменатели: $\frac{1+1}{a-b} - \frac{2a}{(a-b)(a+b)} = \frac{2}{a-b} - \frac{2a}{(a-b)(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a+b)$: $\frac{2(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{2a}{(a-b)(a+b)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей: $\frac{2(a+b) - 2a}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a + 2b - 2a}{(a-b)(a+b)} = \frac{2b}{(a-b)(a+b)}$

Сворачивая знаменатель обратно по формуле разности квадратов, получаем окончательный вид: $\frac{2b}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{2b}{a^2-b^2}$

б)

Упростим выражение $\frac{x^2-y^2}{2y^2} \cdot \frac{xy+y^2}{(x+y)^2}$.

Для упрощения этого выражения разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби — это разность квадратов: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Числитель второй дроби — вынесем общий множитель $y$ за скобки: $xy+y^2 = y(x+y)$.

Знаменатель второй дроби: $(x+y)^2 = (x+y)(x+y)$.

Подставим разложенные выражения обратно в произведение: $\frac{(x-y)(x+y)}{2y^2} \cdot \frac{y(x+y)}{(x+y)^2}$

Запишем все под одной чертой дроби и проведем сокращение: $\frac{(x-y)(x+y) \cdot y(x+y)}{2y^2 \cdot (x+y)^2} = \frac{(x-y) \cdot y \cdot (x+y)^2}{2y^2 \cdot (x+y)^2}$

Сокращаем общий множитель $(x+y)^2$. Также сокращаем на $y$: $\frac{x-y}{2y}$

Ответ: $\frac{x-y}{2y}$

в)

Упростим выражение $\frac{(a+b)^3 + (a-b)^3}{2ab(a^2+3b^2)} - 1$.

Сначала рассмотрим числитель дроби. Раскроем кубы по формулам куба суммы и куба разности: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Сложим эти два выражения: $(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = 2a^3 + 6ab^2$

В полученном выражении вынесем общий множитель $2a$ за скобки: $2a^3 + 6ab^2 = 2a(a^2 + 3b^2)$

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $\frac{2a(a^2 + 3b^2)}{2ab(a^2+3b^2)}$

Сократим общие множители $2a$ и $(a^2+3b^2)$ в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{2a}(\cancel{a^2 + 3b^2})}{\cancel{2a}b(\cancel{a^2+3b^2})} = \frac{1}{b}$

Наконец, выполним вычитание, указанное в исходном выражении: $\frac{1}{b} - 1$

При желании, можно привести к общему знаменателю: $\frac{1}{b} - \frac{b}{b} = \frac{1-b}{b}$

Ответ: $\frac{1-b}{b}$

г)

Упростим выражение $\frac{(a^2-ab+b^2)(a+b)^2(a-b)}{(a^3+b^3)(a^2-b^2)}$.

Разложим на множители выражения в знаменателе, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Знаменатель примет вид: $(a^3+b^3)(a^2-b^2) = (a+b)(a^2-ab+b^2) \cdot (a-b)(a+b)$

Сгруппируем множители в знаменателе для наглядности: $(a^2-ab+b^2)(a+b)^2(a-b)$

Теперь запишем исходную дробь с разложенным знаменателем: $\frac{(a^2-ab+b^2)(a+b)^2(a-b)}{(a^2-ab+b^2)(a+b)^2(a-b)}$

Как мы видим, числитель и знаменатель полностью идентичны. При условии, что знаменатель не равен нулю (т.е. $a \neq b$ и $a \neq -b$), мы можем сократить всю дробь.

В результате сокращения получаем: $1$

Ответ: $1$