Номер 2.5, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.5, страница 47.

2.5 Приведите к знаменателю $x^2 - 25$ алгебраическую дробь:

а) $\frac{1}{x+5}$;

б) $\frac{x}{x-5}$;

в) $\frac{3}{5-x}$;

г) 2.

а) Чтобы привести дробь $\frac{1}{x+5}$ к знаменателю $x^2-25$, необходимо сначала разложить новый знаменатель на множители. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.
Текущий знаменатель дроби равен $(x+5)$. Чтобы получить новый знаменатель $(x-5)(x+5)$, нужно домножить текущий знаменатель на дополнительный множитель $(x-5)$.
Согласно основному свойству дроби, чтобы значение дроби не изменилось, необходимо умножить на этот же множитель и числитель.
$\frac{1}{x+5} = \frac{1 \cdot (x-5)}{(x+5) \cdot (x-5)} = \frac{x-5}{x^2-25}$.
Ответ: $\frac{x-5}{x^2-25}$.

б) Приводим дробь $\frac{x}{x-5}$ к знаменателю $x^2-25$.
Новый знаменатель в разложенном виде: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.
Текущий знаменатель дроби равен $(x-5)$. Чтобы получить новый знаменатель, нужно домножить текущий знаменатель на дополнительный множитель $(x+5)$.
Умножаем числитель и знаменатель на $(x+5)$:
$\frac{x}{x-5} = \frac{x \cdot (x+5)}{(x-5) \cdot (x+5)} = \frac{x^2+5x}{x^2-25}$.
Ответ: $\frac{x^2+5x}{x^2-25}$.

в) Приводим дробь $\frac{3}{5-x}$ к знаменателю $x^2-25$.
Разложение нового знаменателя: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.
Заметим, что текущий знаменатель $5-x$ связан со множителем $(x-5)$ соотношением $5-x = -(x-5)$.
Преобразуем дробь, вынеся минус за скобки в знаменателе: $\frac{3}{5-x} = \frac{3}{-(x-5)} = -\frac{3}{x-5}$.
Теперь, чтобы получить в знаменателе $(x-5)(x+5)$, нужно домножить знаменатель $(x-5)$ на $(x+5)$. Умножаем числитель и знаменатель на этот множитель:
$-\frac{3}{x-5} = -\frac{3 \cdot (x+5)}{(x-5) \cdot (x+5)} = -\frac{3x+15}{x^2-25} = \frac{-(3x+15)}{x^2-25} = \frac{-3x-15}{x^2-25}$.
Ответ: $\frac{-3x-15}{x^2-25}$.

г) Приводим число 2 к знаменателю $x^2-25$.
Любое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. То есть, $2 = \frac{2}{1}$.
Чтобы получить в знаменателе $x^2-25$, нужно домножить 1 на $x^2-25$.
Умножаем числитель и знаменатель на $(x^2-25)$:
$\frac{2}{1} = \frac{2 \cdot (x^2-25)}{1 \cdot (x^2-25)} = \frac{2x^2-50}{x^2-25}$.
Ответ: $\frac{2x^2-50}{x^2-25}$.