Номер 2.4, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.4, страница 47.

2.4 Сократите алгебраическую дробь:

а) $\frac{x^2 - 1}{x + 1}$;

б) $\frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x + 4}$;

в) $\frac{x^4 + 27x}{x^2 + 3x}$;

г) $\frac{x^6 - 1}{x - 1}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 1}{x + 1}$, разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$.
Сократим общий множитель $(x + 1)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x + 1 \neq 0$.
$\frac{(x - 1)\cancel{(x + 1)}}{\cancel{(x + 1)}} = x - 1$.
Ответ: $x - 1$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x + 4}$, разложим числитель на множители по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x^2 + 2x + 4}$.
Сократим общий множитель $(x^2 + 2x + 4)$ в числителе и знаменателе.
$\frac{(x - 2)\cancel{(x^2 + 2x + 4)}}{\cancel{(x^2 + 2x + 4)}} = x - 2$.
Ответ: $x - 2$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{x^4 + 27x}{x^2 + 3x}$, сначала вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе: $x^4 + 27x = x(x^3 + 27)$.
В знаменателе: $x^2 + 3x = x(x + 3)$.
Дробь примет вид: $\frac{x(x^3 + 27)}{x(x + 3)}$.
Сократим на $x$ (при $x \neq 0$): $\frac{x^3 + 27}{x + 3}$.
Теперь разложим числитель $x^3 + 27$ по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - x \cdot 3 + 3^2) = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.
Подставим это в дробь: $\frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{x + 3}$.
Сократим на $(x + 3)$ (при $x+3 \neq 0$): $x^2 - 3x + 9$.
Ответ: $x^2 - 3x + 9$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{x^6 - 1}{x - 1}$, разложим числитель на множители. Это можно сделать несколькими способами. Воспользуемся общей формулой для разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.
В данном случае $a=x$, $b=1$ и $n=6$.
$x^6 - 1 = (x - 1)(x^5 + x^4\cdot1 + x^3\cdot1^2 + x^2\cdot1^3 + x\cdot1^4 + 1^5) = (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{(x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1}$.
Сократим общий множитель $(x - 1)$ (при $x - 1 \neq 0$):
$x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Ответ: $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.