Номер 2.3, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.3, страница 47.

2.3°

а) Что называют алгебраической дробью?

б) Является ли любой многочлен, любое число алгебраической дробью?

в) Какое выражение называют рациональным выражением? Приведите примеры рациональных выражений.

а) Что называют алгебраической дробью?

Алгебраической дробью называют выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — это многочлены. Многочлен $A$ является числителем дроби, а многочлен $B$ — её знаменателем. При этом знаменатель $B$ не может быть нулевым многочленом (т.е. тождественно равным нулю), так как на ноль делить нельзя.

Например, выражения $\frac{x-y}{x+y}$, $\frac{a^2+1}{5b}$, $\frac{7}{z^3-8}$ являются алгебраическими дробями.

Ответ: Алгебраической дробью называют частное от деления двух многочленов $\frac{A}{B}$, где $A$ – числитель, а $B$ – знаменатель, причем $B$ не является нулевым многочленом.

б) Является ли любой многочлен, любое число алгебраической дробью?

Да, любой многочлен, как и любое число, является алгебраической дробью. Это связано с тем, что любое такое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем, равным 1.

Например, многочлен $P$ можно записать как $\frac{P}{1}$. Так как и $P$ (данный многочлен), и 1 (многочлен нулевой степени) являются многочленами, то выражение $\frac{P}{1}$ полностью соответствует определению алгебраической дроби.

Примеры:

• Многочлен $x^2 + 2x + 1$ можно представить как дробь $\frac{x^2 + 2x + 1}{1}$.
• Число $5$ можно представить как дробь $\frac{5}{1}$.

Ответ: Да, является, так как любой многочлен или число можно представить в виде алгебраической дроби, знаменатель которой равен 1.

в) Какое выражение называют рациональным выражением? Приведите примеры рациональных выражений.

Рациональным выражением называют алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью арифметических действий: сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Фактически, это любое выражение, которое можно представить в виде алгебраической дроби $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены.

Рациональные выражения делятся на два вида:

• Целые рациональные выражения — это выражения, не содержащие деления на переменную. По сути, это все многочлены.
• Дробные рациональные выражения — это выражения, которые содержат деление на переменную.

Таким образом, и многочлены, и алгебраические дроби являются рациональными выражениями.

Примеры рациональных выражений:

• $5x^2 - y^3$ (целое рациональное выражение)
• $\frac{a+b}{c}$ (дробное рациональное выражение)
• $15$ (целое рациональное выражение, так как это многочлен)
• $\frac{2x}{x-1} - \frac{3}{y}$ (дробное рациональное выражение)

Ответ: Рациональным выражением называют выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в натуральную степень). Примеры: $a^2+b^2$, $\frac{x-5}{y}$, $2c + \frac{1}{c}$.