Номер 1.104, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.10*. Задачи с целочисленными неизвестными. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.104, страница 44.

1.104 Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1703 г.).

Купил некто на 80 алтын гусей, утят и чирков. Гуся покупал по 2 алтына, утку по 1 алтыну, чирка же по 3 деньги, а всех куплено 80 птиц. Спрашивается, сколько каких птиц он купил.

($1 \text{ алтын} = 3 \text{ коп}$, $1 \text{ деньга} = 0,5 \text{ коп}$.)

Для решения этой старинной задачи сперва переведем все денежные единицы в одну — в копейки, используя указанные в условии соотношения: 1 алтын = 3 коп., 1 деньга = 0,5 коп.

Общая сумма покупки: $80 \text{ алтын} = 80 \cdot 3 = 240$ коп.

Цена одной птицы в копейках:

• Гусь: $2 \text{ алтына} = 2 \cdot 3 = 6$ коп.
• Утка: $1 \text{ алтын} = 1 \cdot 3 = 3$ коп.
• Чирок: $3 \text{ деньги} = 3 \cdot 0,5 = 1,5$ коп.

Обозначим количество гусей как g, количество уток как d и количество чирков как t. Согласно условию, всего было куплено 80 птиц, и на них было потрачено 240 копеек. Составим систему из двух уравнений с тремя неизвестными.

Первое уравнение (по общему количеству птиц):
$g + d + t = 80$

Второе уравнение (по общей стоимости):
$6g + 3d + 1,5t = 240$

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим второе уравнение на 2:
$12g + 6d + 3t = 480$

Теперь разделим все члены этого уравнения на 3, чтобы упростить его:
$4g + 2d + t = 160$

Итак, мы имеем систему линейных уравнений:
$\begin{cases} g + d + t = 80 & (1) \\ 4g + 2d + t = 160 & (2) \end{cases}$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы исключить переменную t:
$(4g + 2d + t) - (g + d + t) = 160 - 80$
$3g + d = 80$

Отсюда мы можем выразить количество уток d через количество гусей g:
$d = 80 - 3g$

Теперь подставим полученное выражение для d в исходное уравнение (1), чтобы найти зависимость для t:
$g + (80 - 3g) + t = 80$
$80 - 2g + t = 80$
$t = 2g$

Мы получили выражения для количества уток и чирков через количество гусей. Поскольку количество птиц может быть только целым и положительным числом (так как в условии говорится о покупке всех трех видов птиц), мы имеем следующие ограничения:
$g > 0$
$d = 80 - 3g > 0 \implies 80 > 3g \implies g < \frac{80}{3} \implies g \le 26$
$t = 2g > 0 \implies g > 0$

Таким образом, количество гусей g может быть любым целым числом от 1 до 26. Это означает, что задача в ее современной математической постановке имеет 26 различных решений. Например, если $g=1$, то $d=77$ и $t=2$.

Однако старинные задачи такого типа часто подразумевали единственный, «красивый» ответ. Если предположить, что было куплено одинаковое количество гусей и уток ($g=d$), то мы можем найти единственное решение. Подставим $d=g$ в наше выражение $d = 80 - 3g$:
$g = 80 - 3g$
$4g = 80$
$g = 20$

Тогда количество уток $d$ также равно 20, а количество чирков $t$ равно:
$t = 2g = 2 \cdot 20 = 40$

Проверим это решение:
Общее количество птиц: $20 + 20 + 40 = 80$ птиц.
Общая стоимость: $20 \cdot 6 \text{ коп.} + 20 \cdot 3 \text{ коп.} + 40 \cdot 1,5 \text{ коп.} = 120 + 60 + 60 = 240$ коп.
240 копеек — это 80 алтын. Все условия задачи выполнены. Это решение является наиболее часто приводимым ответом для данной задачи из «Арифметики» Магницкого.

Ответ: было куплено 20 гусей, 20 уток и 40 чирков.