Номер 1.98, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.9*. Сравнения по модулю m. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.98, страница 40.

1.98 Пусть $P_{2004}(x)=x^{2004}-x^{2003}+x^{2002}-x^{2001}...-x+1$. Определите последнюю цифру числа $P_{2004}(100^{2005})$.

Для того чтобы определить последнюю цифру числа, необходимо найти остаток от деления этого числа на 10.

Дан многочлен $P_{2004}(x) = x^{2004} - x^{2003} + x^{2002} - x^{2001} + \dots - x + 1$. Нам нужно найти последнюю цифру числа $P_{2004}(100^{2005})$. Это эквивалентно нахождению значения $P_{2004}(100^{2005}) \pmod{10}$.

Рассмотрим аргумент функции, число $N = 100^{2005}$. Найдем его последнюю цифру. Поскольку $100$ оканчивается на 0, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 0. Более строго, $N = 100^{2005} = (10^2)^{2005} = 10^{4010}$. Это число является единицей с 4010 нулями, поэтому оно делится на 10 без остатка. Следовательно, $100^{2005} \equiv 0 \pmod{10}$.

Для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами справедливо свойство модульной арифметики: если $a \equiv b \pmod{m}$, то $P(a) \equiv P(b) \pmod{m}$. Применим это свойство для нашего случая, где $x = 100^{2005}$ и модуль $m=10$. Поскольку $100^{2005} \equiv 0 \pmod{10}$, мы можем утверждать, что: $P_{2004}(100^{2005}) \equiv P_{2004}(0) \pmod{10}$.

Теперь вычислим значение $P_{2004}(0)$, подставив $x=0$ в выражение для многочлена: $P_{2004}(0) = 0^{2004} - 0^{2003} + 0^{2002} - 0^{2001} + \dots - 0 + 1$. Все члены многочлена, содержащие $x$, обращаются в ноль. Остается только свободный член, равный 1. $P_{2004}(0) = 1$.

Таким образом, мы получаем: $P_{2004}(100^{2005}) \equiv 1 \pmod{10}$.

Это означает, что последняя цифра числа $P_{2004}(100^{2005})$ равна 1.

Ответ: 1