Страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.91 Докажите признаки делимости на:

а) $10$;

б) $2$;

в) $5$;

г) $3$;

д) $9$;

е) $4$;

ж) $25$.

а) Любое натуральное число $N$ можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Если число $N$ состоит из цифр $a_n a_{n-1} ... a_1 a_0$, то его можно записать в виде $N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + ... + a_1 \cdot 10 + a_0$. Вынесем 10 за скобки для всех слагаемых, кроме последнего: $N = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + ... + a_1) + a_0$. Первое слагаемое в этой сумме, $10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + ... + a_1)$, очевидно делится на 10. Следовательно, для того чтобы число $N$ делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы на 10 делилось второе слагаемое, то есть последняя цифра $a_0$. Так как $a_0$ — это цифра от 0 до 9, единственное значение, которое делится на 10, это 0. Таким образом, число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0.
Ответ: Число делится на 10, если его последняя цифра — 0.

б) Аналогично предыдущему пункту, представим число $N$ в виде $N = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + ... + a_1) + a_0$. Первое слагаемое $10 \cdot (...)$ делится на 10, а так как $10 = 2 \cdot 5$, оно делится и на 2. Таким образом, делимость числа $N$ на 2 полностью определяется делимостью на 2 его последней цифры $a_0$. Цифра делится на 2, если она является четной. Следовательно, число $N$ делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра $a_0$ является четной (0, 2, 4, 6 или 8).
Ответ: Число делится на 2, если его последняя цифра четная.

в) Представим число $N$ в виде $N = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + ... + a_1) + a_0$. Первое слагаемое $10 \cdot (...)$ делится на 10, а так как $10 = 5 \cdot 2$, оно делится и на 5. Следовательно, делимость числа $N$ на 5 зависит только от делимости на 5 его последней цифры $a_0$. Среди цифр от 0 до 9 на 5 делятся только 0 и 5. Таким образом, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.
Ответ: Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

г) Представим число $N = a_n a_{n-1} ... a_1 a_0$ в виде суммы разрядных слагаемых: $N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + ... + a_1 \cdot 10 + a_0$. Заметим, что любую степень десяти можно представить как число, на единицу большее числа, кратного 9. Например, $10 = 9+1$, $100 = 99+1$, и в общем виде $10^k = \underbrace{99...9}_{k} + 1$. Так как число $\underbrace{99...9}_{k}$ делится на 9, оно делится и на 3. Перепишем выражение для $N$: $N = a_n(\underbrace{9...9}_{n} + 1) + a_{n-1}(\underbrace{9...9}_{n-1} + 1) + ... + a_1(9+1) + a_0$. Раскроем скобки: $N = (a_n \cdot \underbrace{9...9}_{n} + a_{n-1} \cdot \underbrace{9...9}_{n-1} + ... + a_1 \cdot 9) + (a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0)$. Выражение в первых скобках представляет собой сумму слагаемых, каждое из которых делится на 3. Следовательно, вся сумма в первых скобках делится на 3. Тогда делимость числа $N$ на 3 зависит только от делимости на 3 выражения во вторых скобках, которое является суммой цифр числа $N$.
Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

д) Доказательство аналогично доказательству признака делимости на 3. Представим число $N = a_n \cdot 10^n + ... + a_0$ и используем тот факт, что $10^k - 1 = \underbrace{99...9}_{k}$ делится на 9. Перепишем $N$ следующим образом: $N = a_n(10^n - 1 + 1) + ... + a_1(10 - 1 + 1) + a_0$. Перегруппируем слагаемые: $N = [a_n(10^n - 1) + ... + a_1(10 - 1)] + (a_n + ... + a_1 + a_0)$. Каждое слагаемое в квадратных скобках, $a_k(10^k - 1)$, делится на 9, так как $10^k - 1$ делится на 9. Значит, вся сумма в квадратных скобках делится на 9. Следовательно, делимость $N$ на 9 зависит исключительно от делимости на 9 суммы его цифр $(a_n + ... + a_0)$.
Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

е) Представим число $N$ так, чтобы выделить число, образованное двумя его последними цифрами: $N = a_n \cdot 10^n + ... + a_2 \cdot 10^2 + (a_1 \cdot 10 + a_0)$. Это можно записать как $N = 100 \cdot (a_n \cdot 10^{n-2} + ... + a_2) + (10a_1 + a_0)$. Первое слагаемое $100 \cdot (...)$ делится на 100, а так как $100 = 4 \cdot 25$, оно гарантированно делится и на 4. Таким образом, делимость $N$ на 4 зависит только от того, делится ли на 4 второе слагаемое, $(10a_1 + a_0)$, которое и представляет собой число, образованное двумя последними цифрами числа $N$.
Ответ: Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

ж) Доказательство аналогично доказательству признака делимости на 4. Представим число $N$ в виде $N = 100 \cdot (a_n \cdot 10^{n-2} + ... + a_2) + (10a_1 + a_0)$. Первое слагаемое, $100 \cdot (...)$, делится на 100, а значит, делится и на 25. Следовательно, делимость числа $N$ на 25 целиком и полностью зависит от делимости на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами, то есть $(10a_1 + a_0)$. Числа от 0 до 99, которые делятся на 25, это 0, 25, 50 и 75. Таким образом, число делится на 25, если оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.
Ответ: Число делится на 25, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25 (т.е. оканчивается на 00, 25, 50 или 75).

1.92 Сформулируйте признак делимости на 11 и докажите его.

Формулировка признака делимости на 11

Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на нечётных местах (считая справа налево, т.е. начиная с разряда единиц), и суммой его цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11.

Иначе говоря, для проверки делимости числа на 11 нужно найти знакопеременную сумму его цифр (первая цифра справа минус вторая плюс третья и т.д.). Если результат делится на 11 (в том числе если он равен 0), то и исходное число делится на 11.

Пример 1: Проверим число 87635.
Сумма цифр на нечётных местах (первое, третье, пятое): $5 + 6 + 8 = 19$.
Сумма цифр на чётных местах (второе, четвертое): $3 + 7 = 10$.
Разность сумм: $19 - 10 = 9$.
Число 9 не делится на 11, следовательно, число 87635 не делится на 11.

Пример 2: Проверим число 183942.
Сумма цифр на нечётных местах (первое, третье, пятое): $2 + 9 + 8 = 19$.
Сумма цифр на чётных местах (второе, четвертое, шестое): $4 + 3 + 1 = 8$.
Разность сумм: $19 - 8 = 11$.
Число 11 делится на 11, следовательно, число 183942 делится на 11 (проверка: $183942 \div 11 = 16722$).

Доказательство

Пусть дано натуральное число $N$. Представим его в десятичной системе счисления в виде суммы разрядных слагаемых: $N = a_k a_{k-1} ... a_1 a_0$, где $a_0$ — цифра в разряде единиц, $a_1$ — в разряде десятков, и так далее до $a_k$.
Тогда число $N$ можно записать как: $N = a_k \cdot 10^k + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + ... + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 10^0 = \sum_{i=0}^{k} a_i 10^i$

Для доказательства признака делимости воспользуемся аппаратом теории сравнений по модулю. Рассмотрим остатки от деления степеней числа 10 на 11:
$10 \equiv -1 \pmod{11}$
Следовательно, для любого целого неотрицательного показателя степени $i$: $10^i \equiv (-1)^i \pmod{11}$
Это означает, что $10^i$ дает остаток 1 при делении на 11, если $i$ чётно, и остаток -1 (или 10), если $i$ нечётно.

Теперь подставим это в выражение для $N$ и рассмотрим его по модулю 11:
$N = \sum_{i=0}^{k} a_i 10^i \equiv \sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^i \pmod{11}$
Распишем эту сумму:
$N \equiv a_0(-1)^0 + a_1(-1)^1 + a_2(-1)^2 + a_3(-1)^3 + ... + a_k(-1)^k \pmod{11}$
$N \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ... + (-1)^k a_k \pmod{11}$

Число $N$ делится на 11 тогда и только тогда, когда его остаток от деления на 11 равен нулю, то есть $N \equiv 0 \pmod{11}$. Это условие равносильно тому, что знакопеременная сумма его цифр, взятых справа налево, делится на 11:
$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ... \equiv 0 \pmod{11}$

Сгруппируем члены этой суммы:
$(a_0 + a_2 + a_4 + ...) - (a_1 + a_3 + a_5 + ...) \equiv 0 \pmod{11}$
Выражение в первой скобке — это сумма цифр, стоящих на нечётных позициях (местах), если считать справа налево (1-я, 3-я, 5-я и т.д.). Выражение во второй скобке — это сумма цифр, стоящих на чётных позициях.
Таким образом, мы доказали, что число $N$ делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр на нечётных местах и суммой его цифр на чётных местах делится на 11. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак делимости на 11: натуральное число делится на 11, если разность между суммой его цифр, стоящих на нечётных местах (считая справа), и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11. Этот признак был строго доказан с использованием свойств сравнений по модулю.

1.93 Верно ли, что целые числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю $m$, если они принадлежат одному и тому же классу $A_i$ ($i = 0, 1, 2, ..., m - 1$)?

Да, это утверждение верно. Фактически, это одно из определений классов вычетов.

Для доказательства воспользуемся определениями.

Определение 1: Сравнимость по модулю.
Два целых числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ (где $m$ — натуральное число), если их разность $(a-b)$ делится нацело на $m$. Это записывается как $a \equiv b \pmod{m}$.

Определение 2: Класс вычетов.
Класс вычетов $A_i$ по модулю $m$ (где $i$ — один из возможных остатков, т.е. $i \in \{0, 1, 2, \dots, m-1\}$) — это множество всех целых чисел, которые при делении на $m$ дают остаток $i$.

Теперь рассмотрим условие задачи. Нам дано, что целые числа $a$ и $b$ принадлежат одному и тому же классу $A_i$.

Исходя из определения 2, это означает, что и число $a$, и число $b$ при делении на $m$ дают одинаковый остаток, равный $i$. Мы можем записать это математически:
$a = q_1 \cdot m + i$, где $q_1$ — целое число (частное).
$b = q_2 \cdot m + i$, где $q_2$ — целое число (частное).

Чтобы проверить, сравнимы ли $a$ и $b$ по модулю $m$, найдем их разность:
$a - b = (q_1 \cdot m + i) - (q_2 \cdot m + i)$
$a - b = q_1 \cdot m + i - q_2 \cdot m - i$
$a - b = q_1 \cdot m - q_2 \cdot m$
$a - b = (q_1 - q_2) \cdot m$

Поскольку $q_1$ и $q_2$ — целые числа, их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Обозначим $k = q_1 - q_2$.

Тогда мы имеем $a - b = k \cdot m$, где $k$ — целое число. Это в точности означает, что разность $(a-b)$ делится на $m$ нацело.

Согласно определению 1, это и означает, что $a \equiv b \pmod{m}$.

Таким образом, утверждение полностью доказано. Классы вычетов по модулю $m$ как раз и являются множествами чисел, сравнимых между собой по этому модулю.

Ответ: Да, верно.

1.94 Докажите свойства 1–4 сравнений.

Доказательство свойств сравнений основывается на определении: два целых числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ (где $m$ — натуральное число, $m>1$), если их разность $(a-b)$ делится нацело на $m$. Запись $a \equiv b \pmod{m}$ означает, что существует такое целое число $k$, что $a - b = km$.

1. Свойство рефлексивности

Для любого целого числа $a$ справедливо сравнение $a \equiv a \pmod{m}$.

Доказательство. Рассмотрим разность $a - a$. Она равна $0$. Число $0$ можно представить в виде $0 \cdot m$, где $0$ — целое число. Это означает, что разность $(a-a)$ делится на $m$. Следовательно, по определению сравнения, $a \equiv a \pmod{m}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: свойство рефлексивности доказано.

2. Свойство симметричности

Если $a \equiv b \pmod{m}$, то $b \equiv a \pmod{m}$.

Доказательство. Пусть дано, что $a \equiv b \pmod{m}$. По определению это означает, что разность $(a - b)$ делится на $m$. Значит, существует такое целое число $k$, что $a - b = km$. Умножим обе части этого равенства на $-1$: $-(a - b) = -km$, что равносильно $b - a = (-k)m$. Так как $k$ — целое число, то и $(-k)$ является целым числом. Отсюда следует, что разность $(b - a)$ делится на $m$. Следовательно, по определению сравнения, $b \equiv a \pmod{m}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: свойство симметричности доказано.

3. Свойство транзитивности

Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $b \equiv c \pmod{m}$, то $a \equiv c \pmod{m}$.

Доказательство. Пусть дано, что $a \equiv b \pmod{m}$ и $b \equiv c \pmod{m}$. Из первого сравнения следует, что существует целое число $k_1$, такое что $a - b = k_1m$. Из второго сравнения следует, что существует целое число $k_2$, такое что $b - c = k_2m$. Нам необходимо доказать, что $a \equiv c \pmod{m}$, то есть что разность $(a-c)$ делится на $m$. Представим разность $(a-c)$ в виде суммы: $a - c = (a - b) + (b - c)$. Подставим известные выражения для $(a-b)$ и $(b-c)$: $a - c = k_1m + k_2m$. Вынесем общий множитель $m$ за скобки: $a - c = (k_1 + k_2)m$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их сумма $(k_1 + k_2)$ также является целым числом. Это означает, что разность $(a-c)$ делится на $m$. Следовательно, $a \equiv c \pmod{m}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: свойство транзитивности доказано.

4. Свойство сложения и умножения сравнений

Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, то:

• $a + c \equiv b + d \pmod{m}$ (сложение)
• $a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod{m}$ (умножение)

Доказательство. Из условий $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$ следует, что существуют целые числа $k_1$ и $k_2$ такие, что $a - b = k_1m$ и $c - d = k_2m$.

а) Сложение:

Рассмотрим разность $(a+c) - (b+d)$. Перегруппируем слагаемые: $(a - b) + (c - d)$. Подставим известные выражения: $k_1m + k_2m = (k_1 + k_2)m$. Так как $(k_1+k_2)$ — целое число, разность $(a+c) - (b+d)$ делится на $m$. Следовательно, $a+c \equiv b+d \pmod{m}$.

б) Умножение:

Рассмотрим разность $ac - bd$. Из $a - b = k_1m$ следует, что $a = b + k_1m$. Аналогично, $c = d + k_2m$. Подставим эти выражения в разность $ac - bd$:

$ac - bd = (b + k_1m)(d + k_2m) - bd$

Раскроем скобки:

$ac - bd = (bd + bk_2m + dk_1m + k_1k_2m^2) - bd$

Упростим выражение, сократив $bd$:

$ac - bd = bk_2m + dk_1m + k_1k_2m^2$

Вынесем $m$ за скобки:

$ac - bd = m(bk_2 + dk_1 + k_1k_2m)$

Поскольку $b, d, k_1, k_2, m$ — целые числа, выражение в скобках $(bk_2 + dk_1 + k_1k_2m)$ также является целым числом. Это означает, что разность $ac - bd$ делится на $m$. Следовательно, $ac \equiv bd \pmod{m}$.

Оба утверждения доказаны.

Ответ: свойство сложения и умножения сравнений доказано.

1.95 Определите остаток от деления числа $3^{25}$ на:

а) 10;

б) 11;

в) 13.

Чтобы найти остаток от деления числа $3^{25}$ на 10, необходимо найти значение $3^{25} \pmod{10}$. Это эквивалентно нахождению последней цифры числа $3^{25}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 3:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$, последняя цифра 7

$3^4 = 81$, последняя цифра 1

$3^5 = 243$, последняя цифра 3

Мы видим, что последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы определить последнюю цифру числа $3^{25}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 25 на длину цикла 4.

$25 \div 4 = 6$ с остатком 1. Это можно записать как $25 \equiv 1 \pmod{4}$.

Так как остаток равен 1, последняя цифра числа $3^{25}$ будет такой же, как и у первого члена последовательности, то есть $3^1$. Таким образом, последняя цифра равна 3.

Используя язык сравнений по модулю:

$3^4 \equiv 1 \pmod{10}$

$3^{25} = 3^{4 \cdot 6 + 1} = (3^4)^6 \cdot 3^1 \equiv 1^6 \cdot 3 \pmod{10} \equiv 3 \pmod{10}$.

Ответ: 3

Требуется найти остаток от деления $3^{25}$ на 11, то есть найти $3^{25} \pmod{11}$.

Рассмотрим степени числа 3 по модулю 11:

$3^1 \equiv 3 \pmod{11}$

$3^2 \equiv 9 \pmod{11}$

$3^3 = 27 \equiv 5 \pmod{11}$

$3^4 \equiv 3 \cdot 5 = 15 \equiv 4 \pmod{11}$

$3^5 \equiv 3 \cdot 4 = 12 \equiv 1 \pmod{11}$

Мы обнаружили, что $3^5 \equiv 1 \pmod{11}$. Это означает, что остатки от деления степеней числа 3 на 11 повторяются с циклом длиной 5. Показатель степени 25 делится на 5 без остатка: $25 = 5 \cdot 5$.

Следовательно, мы можем записать:

$3^{25} = (3^5)^5 \equiv 1^5 \pmod{11} \equiv 1 \pmod{11}$.

Другой способ — использование Малой теоремы Ферма. Так как 11 — простое число, а 3 на 11 не делится, то $3^{11-1} \equiv 3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$. Тогда:

$3^{25} = 3^{10 \cdot 2 + 5} = (3^{10})^2 \cdot 3^5 \equiv 1^2 \cdot 3^5 \pmod{11} \equiv 3^5 \pmod{11}$.

Как мы уже вычислили, $3^5 \equiv 1 \pmod{11}$. Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1

Нам нужно найти остаток от деления $3^{25}$ на 13, то есть найти $3^{25} \pmod{13}$.

Вычислим первые несколько степеней числа 3 по модулю 13:

$3^1 \equiv 3 \pmod{13}$

$3^2 \equiv 9 \pmod{13}$

$3^3 = 27 = 2 \cdot 13 + 1 \equiv 1 \pmod{13}$

Длина цикла остатков равна 3. Найдем остаток от деления показателя степени 25 на 3:

$25 \div 3 = 8$ с остатком 1. То есть, $25 \equiv 1 \pmod{3}$.

Это означает, что остаток от деления $3^{25}$ на 13 будет таким же, как у $3^1$.

$3^{25} \equiv 3^1 \pmod{13} \equiv 3 \pmod{13}$.

Как и в предыдущем пункте, можно было применить Малую теорему Ферма для простого числа 13: $3^{13-1} \equiv 3^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.

$25 = 12 \cdot 2 + 1$.

$3^{25} = 3^{12 \cdot 2 + 1} = (3^{12})^2 \cdot 3^1 \equiv 1^2 \cdot 3^1 \pmod{13} \equiv 3 \pmod{13}$.

Результат подтверждается.

Ответ: 3

1.96 Не выполняя деления, определите остаток от деления числа 200420052006200720082009 на 9.

Для определения остатка от деления числа на 9, не выполняя само деление, используется свойство делимости. Оно гласит, что остаток от деления любого натурального числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9.

Заданное число: $N = 200420052006200720082009$.

1. Найдем сумму цифр числа N.

Сумма цифр $S$ равна:
$S = 2+0+0+4+2+0+0+5+2+0+0+6+2+0+0+7+2+0+0+8+2+0+0+9$

Выполним сложение:
$S = (2+4) + (2+5) + (2+6) + (2+7) + (2+8) + (2+9) = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 51$.

Итак, сумма цифр исходного числа равна 51.

2. Найдем остаток от деления суммы цифр на 9.

Теперь найдем остаток от деления полученной суммы (51) на 9.

$51 = 9 \times 5 + 6$

Из этого равенства видно, что при делении 51 на 9 получается 5 и в остатке 6.

Так как остаток от деления суммы цифр на 9 равен 6, то и остаток от деления исходного числа $200420052006200720082009$ на 9 также равен 6.

Ответ: 6

1.97 Пусть $P_3(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 1$. Определите последнюю циф-ру числа $P_3(10^{2005})$.

Чтобы определить последнюю цифру числа $P_3(10^{2005})$, нам необходимо найти остаток от деления этого числа на 10. Иными словами, мы ищем значение $P_3(10^{2005}) \pmod{10}$.

Дан многочлен $P_3(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 1$.

Рассмотрим аргумент функции, $x = 10^{2005}$. Любая целая положительная степень числа 10 представляет собой число, оканчивающееся на ноль. Например, $10^1 = 10$, $10^2 = 100$ и так далее. Следовательно, число $10^{2005}$ оканчивается на 0.

В терминах модульной арифметики это означает, что $10^{2005} \equiv 0 \pmod{10}$.

Теперь мы можем вычислить значение многочлена по модулю 10, подставив $x \equiv 0 \pmod{10}$:

$P_3(10^{2005}) \equiv (10^{2005})^3 - 4(10^{2005})^2 + 5(10^{2005}) + 1 \pmod{10}$

Используя свойство сравнений, заменяем $10^{2005}$ на 0:

$P_3(10^{2005}) \equiv 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 + 1 \pmod{10}$

$P_3(10^{2005}) \equiv 0 - 0 + 0 + 1 \pmod{10}$

$P_3(10^{2005}) \equiv 1 \pmod{10}$

Остаток от деления числа $P_3(10^{2005})$ на 10 равен 1. Это означает, что последняя цифра искомого числа — это 1.

Можно рассуждать и иначе. Рассмотрим каждый член выражения $P_3(10^{2005})$:
- $(10^{2005})^3 = 10^{6015}$. Это число заканчивается на 0.
- $4(10^{2005})^2 = 4 \cdot 10^{4010}$. Это число также заканчивается на 0.
- $5(10^{2005})$. Это число также заканчивается на 0.
- $1$. Это число 1.

Таким образом, значение выражения $P_3(10^{2005})$ равно сумме нескольких чисел, каждое из которых (кроме последнего) оканчивается на 0, и числа 1. Сумма чисел, оканчивающихся на 0, также оканчивается на 0. Если к такому числу прибавить 1, то последняя цифра результата будет 1.

Ответ: 1

1.98 Пусть $P_{2004}(x)=x^{2004}-x^{2003}+x^{2002}-x^{2001}...-x+1$. Определите последнюю цифру числа $P_{2004}(100^{2005})$.

Для того чтобы определить последнюю цифру числа, необходимо найти остаток от деления этого числа на 10.

Дан многочлен $P_{2004}(x) = x^{2004} - x^{2003} + x^{2002} - x^{2001} + \dots - x + 1$. Нам нужно найти последнюю цифру числа $P_{2004}(100^{2005})$. Это эквивалентно нахождению значения $P_{2004}(100^{2005}) \pmod{10}$.

Рассмотрим аргумент функции, число $N = 100^{2005}$. Найдем его последнюю цифру. Поскольку $100$ оканчивается на 0, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 0. Более строго, $N = 100^{2005} = (10^2)^{2005} = 10^{4010}$. Это число является единицей с 4010 нулями, поэтому оно делится на 10 без остатка. Следовательно, $100^{2005} \equiv 0 \pmod{10}$.

Для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами справедливо свойство модульной арифметики: если $a \equiv b \pmod{m}$, то $P(a) \equiv P(b) \pmod{m}$. Применим это свойство для нашего случая, где $x = 100^{2005}$ и модуль $m=10$. Поскольку $100^{2005} \equiv 0 \pmod{10}$, мы можем утверждать, что: $P_{2004}(100^{2005}) \equiv P_{2004}(0) \pmod{10}$.

Теперь вычислим значение $P_{2004}(0)$, подставив $x=0$ в выражение для многочлена: $P_{2004}(0) = 0^{2004} - 0^{2003} + 0^{2002} - 0^{2001} + \dots - 0 + 1$. Все члены многочлена, содержащие $x$, обращаются в ноль. Остается только свободный член, равный 1. $P_{2004}(0) = 1$.

Таким образом, мы получаем: $P_{2004}(100^{2005}) \equiv 1 \pmod{10}$.

Это означает, что последняя цифра числа $P_{2004}(100^{2005})$ равна 1.

Ответ: 1

1.99 Докажите, что квадрат любого натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольное натуральное число $n$. Любое натуральное число при делении на 3 может иметь остаток 0, 1 или 2. Проанализируем квадрат этого числа для каждого из трех возможных случаев.

Случай 1: Число $n$ делится на 3.

В этом случае число $n$ можно представить как $n = 3k$, где $k$ – натуральное число. Возведем это выражение в квадрат: $n^2 = (3k)^2 = 9k^2$. Поскольку $k^2$ – целое число, произведение $9k^2$ очевидно делится на 9. В этом случае выполняется первое условие.

Случай 2: Число $n$ при делении на 3 дает остаток 1.

В этом случае число $n$ можно представить как $n = 3k + 1$, где $k$ – неотрицательное целое число. Возведем это выражение в квадрат, используя формулу квадрата суммы: $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1$. Сгруппируем слагаемые: $n^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. Так как $3k^2 + 2k$ – целое число, мы видим, что $n^2$ при делении на 3 дает остаток 1. В этом случае выполняется второе условие.

Случай 3: Число $n$ при делении на 3 дает остаток 2.

В этом случае число $n$ можно представить как $n = 3k + 2$, где $k$ – неотрицательное целое число. Возведем это выражение в квадрат: $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4$. Представим 4 как $3 + 1$ и сгруппируем слагаемые: $n^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. Так как $3k^2 + 4k + 1$ – целое число, мы снова видим, что $n^2$ при делении на 3 дает остаток 1. В этом случае также выполняется второе условие.

Ответ: Мы рассмотрели все три возможных случая для любого натурального числа. Если число кратно 3, то его квадрат делится на 9. Если число не кратно 3, то его квадрат при делении на 3 дает остаток 1. Таким образом, утверждение полностью доказано.

1.100* Найдите последнюю цифру числа $9^{9^9}$.

Чтобы найти последнюю цифру числа $9^{9^9}$, необходимо проанализировать закономерность, по которой меняются последние цифры степеней числа 9.

Рассмотрим несколько первых степеней числа 9:

$9^1 = 9$

$9^2 = 81$

$9^3 = 729$

$9^4 = 6561$

Можно заметить, что последние цифры степеней числа 9 циклически повторяются с периодом 2: (9, 1, 9, 1, ...).

Таким образом, последняя цифра числа $9^n$ зависит от четности показателя степени $n$:

– если $n$ является нечетным числом, то последняя цифра числа $9^n$ равна 9;

– если $n$ является четным числом, то последняя цифра числа $9^n$ равна 1.

В нашем случае показатель степени — это число $9^9$. Нам нужно определить четность этого числа.

Число 9 — нечетное. Произведение нечетных чисел всегда является нечетным числом. Следовательно, любая натуральная степень нечетного числа будет нечетной. Число $9^9$ представляет собой произведение девяти девяток ($9 \times 9 \times \dots \times 9$). Так как мы перемножаем нечетные числа, результат $9^9$ будет нечетным числом.

Поскольку показатель степени $9^9$ — нечетное число, последняя цифра исходного числа $9^{9^9}$ будет 9.

Ответ: 9