Номер 1.97, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.9*. Сравнения по модулю m - номер 1.97, страница 40.

Условие.

1.97 Пусть $P_3(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 1$. Определите последнюю циф-ру числа $P_3(10^{2005})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить последнюю цифру числа $P_3(10^{2005})$, нам необходимо найти остаток от деления этого числа на 10. Иными словами, мы ищем значение $P_3(10^{2005}) \pmod{10}$.

Дан многочлен $P_3(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 1$.

Рассмотрим аргумент функции, $x = 10^{2005}$. Любая целая положительная степень числа 10 представляет собой число, оканчивающееся на ноль. Например, $10^1 = 10$, $10^2 = 100$ и так далее. Следовательно, число $10^{2005}$ оканчивается на 0.

В терминах модульной арифметики это означает, что $10^{2005} \equiv 0 \pmod{10}$.

Теперь мы можем вычислить значение многочлена по модулю 10, подставив $x \equiv 0 \pmod{10}$:

$P_3(10^{2005}) \equiv (10^{2005})^3 - 4(10^{2005})^2 + 5(10^{2005}) + 1 \pmod{10}$

Используя свойство сравнений, заменяем $10^{2005}$ на 0:

$P_3(10^{2005}) \equiv 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 + 1 \pmod{10}$

$P_3(10^{2005}) \equiv 0 - 0 + 0 + 1 \pmod{10}$

$P_3(10^{2005}) \equiv 1 \pmod{10}$

Остаток от деления числа $P_3(10^{2005})$ на 10 равен 1. Это означает, что последняя цифра искомого числа — это 1.

Можно рассуждать и иначе. Рассмотрим каждый член выражения $P_3(10^{2005})$:
- $(10^{2005})^3 = 10^{6015}$. Это число заканчивается на 0.
- $4(10^{2005})^2 = 4 \cdot 10^{4010}$. Это число также заканчивается на 0.
- $5(10^{2005})$. Это число также заканчивается на 0.
- $1$. Это число 1.

Таким образом, значение выражения $P_3(10^{2005})$ равно сумме нескольких чисел, каждое из которых (кроме последнего) оканчивается на 0, и числа 1. Сумма чисел, оканчивающихся на 0, также оканчивается на 0. Если к такому числу прибавить 1, то последняя цифра результата будет 1.

Ответ: 1