Номер 1.90, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.8*. Делимость целых чисел. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.90, страница 38.

1.90 Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

1.90 Обозначим три последовательных натуральных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$. Сумма их кубов $S$ равна:
$S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$
Воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности, $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$, и раскроем скобки:
$S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$
Приведем подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:
$S = 3n^3 + 6n$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S = 3(n^3 + 2n)$
Для того чтобы доказать, что $S$ делится на 9, необходимо показать, что выражение в скобках, $(n^3 + 2n)$, делится на 3 для любого натурального числа $n$.
Преобразуем это выражение, добавив и отняв $n$:
$n^3 + 2n = n^3 - n + 3n = n(n^2 - 1) + 3n = n(n-1)(n+1) + 3n$
Рассмотрим полученную сумму. Первое слагаемое, $n(n-1)(n+1)$, является произведением трёх последовательных натуральных чисел. Среди любых трёх последовательных чисел одно всегда кратно 3, следовательно, их произведение делится на 3. Второе слагаемое, $3n$, также очевидно делится на 3.
Поскольку оба слагаемых делятся на 3, их сумма, $(n^3 + 2n)$, также делится на 3. Это означает, что $n^3 + 2n$ можно представить в виде $3k$, где $k$ — некоторое целое число.
Подставим это в нашу формулу для $S$:
$S = 3 \cdot (3k) = 9k$
Полученное выражение показывает, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел всегда кратна 9, то есть делится на 9 без остатка. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.