Номер 1.89, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.8*. Делимость целых чисел. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.89, страница 38.

1.89 Найдите все целые числа, которые при делении на 4 дают остаток 3, при делении на 3 дают остаток 2, при делении на 2 дают остаток 1.

Пусть $x$ — искомое целое число. Согласно условиям задачи, $x$ должен удовлетворять следующей системе сравнений:

$x \equiv 3 \pmod{4}$
$x \equiv 2 \pmod{3}$
$x \equiv 1 \pmod{2}$

Можно заметить, что в каждом из условий остаток на единицу меньше делителя ($3 = 4 - 1$, $2 = 3 - 1$, $1 = 2 - 1$). Это позволяет переписать систему в эквивалентном виде, используя отрицательные остатки:

$x \equiv -1 \pmod{4}$
$x \equiv -1 \pmod{3}$
$x \equiv -1 \pmod{2}$

Из этой системы следует, что если к числу $x$ прибавить 1, то полученное число $x+1$ будет делиться нацело и на 4, и на 3, и на 2. Следовательно, число $x+1$ должно быть общим кратным для чисел 4, 3 и 2. Чтобы найти все возможные значения $x$, необходимо, чтобы $x+1$ было кратно наименьшему общему кратному (НОК) этих чисел.

Найдем НОК(4, 3, 2). Поскольку 4 делится на 2, НОК(4, 3, 2) = НОК(4, 3). Так как 4 и 3 — взаимно простые числа, их НОК равен их произведению:

НОК(4, 3, 2) = 12.

Таким образом, $x+1$ должно быть кратно 12, что можно записать в виде уравнения:

$x + 1 = 12k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Выражая $x$ из этого уравнения, получаем общую формулу для всех чисел, удовлетворяющих условию задачи:

$x = 12k - 1$.

Проверим для нескольких значений $k$:

• При $k=1$: $x = 12 \cdot 1 - 1 = 11$.
  $11 \div 4 = 2$ (остаток 3)
  $11 \div 3 = 3$ (остаток 2)
  $11 \div 2 = 5$ (остаток 1)
• При $k=0$: $x = 12 \cdot 0 - 1 = -1$.
  $-1 = 4 \cdot (-1) + 3$ (остаток 3)
  $-1 = 3 \cdot (-1) + 2$ (остаток 2)
  $-1 = 2 \cdot (-1) + 1$ (остаток 1)
• При $k=2$: $x = 12 \cdot 2 - 1 = 23$.
  $23 \div 4 = 5$ (остаток 3)
  $23 \div 3 = 7$ (остаток 2)
  $23 \div 2 = 11$ (остаток 1)

Все условия выполняются.

Ответ: все целые числа вида $12k - 1$, где $k$ — любое целое число.