Номер 1.84, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.8*. Делимость целых чисел. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.84, страница 38.

1.84 Определите целые числа m, n, k и p, для которых справедливо равенство:

a) $2^{m+n} \cdot 3^{k+1} \cdot 5^7 \cdot 7^{12} = 2^{7-n} \cdot 3^7 \cdot 5^{m+p} \cdot 7^{m+n+k};$

б) $2^{p-m} \cdot 75^n \cdot 3^p \cdot 7^{m+4} = 21^k \cdot 27 \cdot 5^p \cdot 14^n \cdot 2^m.$

а) Исходное равенство: $2^{m+n} \cdot 3^{k+1} \cdot 5^7 \cdot 7^{12} = 2^{7-n} \cdot 3^7 \cdot 5^{m+p} \cdot 7^{m+n+k}$.

Согласно основной теореме арифметики о единственности разложения на простые множители, для выполнения равенства необходимо, чтобы степени при одинаковых простых основаниях в левой и правой частях были равны.

Приравняем показатели степеней для каждого простого основания (2, 3, 5 и 7), чтобы получить систему уравнений:

1) Для основания 2: $m + n = 7 - n \implies m + 2n = 7$.

2) Для основания 3: $k + 1 = 7$.

3) Для основания 5: $7 = m + p$.

4) Для основания 7: $12 = m + n + k$.

Решим полученную систему. Из уравнения (2) сразу находим $k$: $k = 7 - 1 = 6$.

Подставим значение $k=6$ в уравнение (4): $m + n + 6 = 12 \implies m + n = 6$.

Теперь решим систему из двух уравнений для $m$ и $n$:

$m + 2n = 7$

$m + n = 6$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(m + 2n) - (m + n) = 7 - 6$, откуда $n = 1$.

Подставим $n=1$ в уравнение $m + n = 6$: $m + 1 = 6$, откуда $m = 5$.

Наконец, подставим $m=5$ в уравнение (3), чтобы найти $p$: $7 = 5 + p$, откуда $p = 2$.

Таким образом, мы нашли все искомые целые числа.

Ответ: $m=5, n=1, k=6, p=2$.

б) Исходное равенство: $2^{p-m} \cdot 75^n \cdot 3^p \cdot 7^{m+4} = 21^k \cdot 27 \cdot 5^p \cdot 14^n \cdot 2^m$.

Сначала разложим составные числа (75, 21, 27, 14) на простые множители в обеих частях равенства.

Левая часть: $2^{p-m} \cdot (3 \cdot 5^2)^n \cdot 3^p \cdot 7^{m+4} = 2^{p-m} \cdot 3^n \cdot 5^{2n} \cdot 3^p \cdot 7^{m+4} = 2^{p-m} \cdot 3^{n+p} \cdot 5^{2n} \cdot 7^{m+4}$.

Правая часть: $(3 \cdot 7)^k \cdot 3^3 \cdot 5^p \cdot (2 \cdot 7)^n \cdot 2^m = 3^k \cdot 7^k \cdot 3^3 \cdot 5^p \cdot 2^n \cdot 7^n \cdot 2^m = 2^{m+n} \cdot 3^{k+3} \cdot 5^p \cdot 7^{k+n}$.

Теперь приравняем выражения: $2^{p-m} \cdot 3^{n+p} \cdot 5^{2n} \cdot 7^{m+4} = 2^{m+n} \cdot 3^{k+3} \cdot 5^p \cdot 7^{k+n}$.

Приравняем показатели степеней для каждого простого основания (2, 3, 5 и 7):

1) Для основания 2: $p - m = m + n \implies p - 2m - n = 0$.

2) Для основания 3: $n + p = k + 3$.

3) Для основания 5: $2n = p$.

4) Для основания 7: $m + 4 = k + n \implies m - n - k = -4$.

Решим полученную систему уравнений. Из уравнения (3) выразим $p$ через $n$: $p = 2n$.

Подставим $p = 2n$ в уравнение (1): $2n - 2m - n = 0 \implies n - 2m = 0 \implies n = 2m$.

Теперь мы можем выразить $p$ через $m$: $p = 2n = 2(2m) = 4m$.

Подставим $n = 2m$ в уравнение (4): $m - 2m - k = -4 \implies -m - k = -4 \implies m + k = 4$.

Подставим $n = 2m$ и $p = 4m$ в уравнение (2): $2m + 4m = k + 3 \implies 6m - k = 3$.

Теперь решим систему из двух уравнений для $m$ и $k$:

$m + k = 4$

$6m - k = 3$

Сложим эти два уравнения: $(m + k) + (6m - k) = 4 + 3 \implies 7m = 7$, откуда $m = 1$.

Зная $m$, последовательно находим остальные переменные:

$n = 2m = 2(1) = 2$.

$p = 4m = 4(1) = 4$.

Из уравнения $m + k = 4$ находим $k$: $1 + k = 4 \implies k = 3$.

Таким образом, мы нашли все искомые целые числа.

Ответ: $m=1, n=2, k=3, p=4$.