Номер 1.87, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.8*. Делимость целых чисел. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.87, страница 38.

1.87 Докажите, что произведение:

а) двух последовательных натуральных чисел делится на 2;

б) трёх последовательных натуральных чисел делится на 6;

в) четырёх последовательных натуральных чисел делится на 24.

а) Возьмём два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$. Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является чётным (то есть делится на 2), а другое — нечётным. Если $n$ — чётное, то произведение $n(n+1)$ делится на 2. Если $n$ — нечётное, то чётным будет число $n+1$, и произведение $n(n+1)$ также будет делиться на 2. Следовательно, произведение двух последовательных натуральных чисел всегда имеет чётный множитель, а значит, и само делится на 2.
Ответ: Произведение двух последовательных натуральных чисел всегда делится на 2, так как одно из этих чисел обязательно чётное.

б) Рассмотрим произведение трёх последовательных натуральных чисел $n(n+1)(n+2)$. Чтобы доказать, что оно делится на 6, нужно доказать его делимость на 2 и на 3, поскольку $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.
1. Делимость на 2: Среди трёх последовательных натуральных чисел есть как минимум одно чётное число. Следовательно, их произведение делится на 2.
2. Делимость на 3: Среди любых трёх последовательных натуральных чисел ровно одно число делится на 3. Это можно показать, рассмотрев остатки от деления первого числа $n$ на 3.
- Если $n$ делится на 3 ($n = 3k$), то произведение делится на 3.
- Если $n$ даёт остаток 1 при делении на 3 ($n = 3k+1$), то число $n+2 = 3k+1+2 = 3(k+1)$ делится на 3.
- Если $n$ даёт остаток 2 при делении на 3 ($n = 3k+2$), то число $n+1 = 3k+2+1 = 3(k+1)$ делится на 3.
В любом случае, один из множителей делится на 3, поэтому и всё произведение делится на 3.
Поскольку произведение делится одновременно на 2 и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.
Ответ: Произведение трёх последовательных натуральных чисел всегда делится на 6, так как среди них есть как минимум одно чётное число (обеспечивает делимость на 2) и ровно одно число, кратное трём (обеспечивает делимость на 3).

в) Рассмотрим произведение четырёх последовательных натуральных чисел $n(n+1)(n+2)(n+3)$. Чтобы доказать, что оно делится на 24, нужно доказать его делимость на 3 и на 8, так как $24 = 3 \cdot 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.
1. Делимость на 3: Среди четырёх последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно, которое делится на 3 (по аналогии с пунктом б). Следовательно, произведение делится на 3.
2. Делимость на 8: Среди четырёх последовательных натуральных чисел всегда есть ровно два чётных числа. Эти два числа отстоят друг от друга на 2. Одно из этих чётных чисел обязательно будет кратно 4, а другое будет чётным, но не кратным 4. Например, в последовательности $n, n+1, n+2, n+3$:
- Если $n$ кратно 4 ($n=4k$), то чётные числа - это $4k$ и $4k+2$. Их произведение делится на $4 \cdot 2 = 8$.
- Если $n+1$ кратно 4 ($n+1=4k$), то чётные числа - это $4k$ и $4k-2$. Их произведение делится на $4 \cdot 2 = 8$.
- Если $n+2$ кратно 4 ($n+2=4k$), то чётные числа - это $4k$ и $4k-2$. Их произведение делится на $4 \cdot 2 = 8$.
- Если $n+3$ кратно 4 ($n+3=4k$), то чётные числа - это $4k$ и $4k-2$. Их произведение делится на $4 \cdot 2 = 8$.
Так как в произведении есть множитель, кратный 4, и другой чётный множитель, то их общее произведение будет кратно $4 \cdot 2 = 8$.
Поскольку произведение делится и на 3, и на 8, оно делится и на их произведение, то есть на 24.
Ответ: Произведение четырёх последовательных натуральных чисел всегда делится на 24, так как оно делится на 3 (среди чисел есть одно, кратное трём) и на 8 (среди чисел есть два чётных, одно из которых обязательно кратно 4).