Номер 1.83, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.7*. Доказательство числовых неравенств - номер 1.83, страница 35.

Условие.

1.83* Докажите, что для любых действительных чисел $a$ и $b$:

а) если $a + b = 3$, то $a^2 + b^2 \ge 4.5$;

б) если $a + b = 4$, то $a^2 + b^2 \ge 8$;

в) если $a + b = 1$, то $a^4 + b^4 \ge \frac{1}{8}$;

г) если $a + b = 4$, то $a^4 + b^4 \ge 32$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Из условия $a+b=3$ выразим одну переменную через другую, например, $b = 3-a$. Подставим это выражение в левую часть доказываемого неравенства $a^2+b^2 \ge 4,5$: $a^2 + (3-a)^2 = a^2 + (9 - 6a + a^2) = 2a^2 - 6a + 9$. Теперь нам нужно доказать, что $2a^2 - 6a + 9 \ge 4,5$. Перенесем 4,5 в левую часть: $2a^2 - 6a + 9 - 4,5 \ge 0$ $2a^2 - 6a + 4,5 \ge 0$. Разделим обе части неравенства на 2: $a^2 - 3a + 2,25 \ge 0$. Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат: $(a - 1,5)^2 \ge 0$. Это неравенство справедливо для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство также верно.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Из условия $a+b=4$ выразим $b$: $b = 4-a$. Подставим это выражение в левую часть доказываемого неравенства $a^2+b^2 \ge 8$: $a^2 + (4-a)^2 = a^2 + (16 - 8a + a^2) = 2a^2 - 8a + 16$. Требуется доказать, что $2a^2 - 8a + 16 \ge 8$. Перенесем 8 в левую часть: $2a^2 - 8a + 16 - 8 \ge 0$ $2a^2 - 8a + 8 \ge 0$. Разделим обе части неравенства на 2: $a^2 - 4a + 4 \ge 0$. Левая часть является полным квадратом: $(a - 2)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство также верно.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Для решения задачи воспользуемся неравенством $x^2+y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{2}$, которое справедливо для любых действительных чисел $x$ и $y$. Сначала применим его для $x=a$ и $y=b$. Учитывая условие $a+b=1$, получаем: $a^2+b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2} = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$. Теперь применим это же неравенство для $x=a^2$ и $y=b^2$: $a^4+b^4 = (a^2)^2 + (b^2)^2 \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$. Из предыдущего шага мы знаем, что $a^2+b^2 \ge \frac{1}{2}$. Так как обе части этого неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, получив $(a^2+b^2)^2 \ge (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Подставим этот результат в неравенство для $a^4+b^4$: $a^4+b^4 \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2} \ge \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8}$. Следовательно, $a^4+b^4 \ge \frac{1}{8}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

г) Действуем аналогично пункту в), используя неравенство $x^2+y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{2}$. Сначала применим его для $x=a$ и $y=b$ с учётом условия $a+b=4$: $a^2+b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$. Затем применим то же неравенство для $x=a^2$ и $y=b^2$: $a^4+b^4 = (a^2)^2+(b^2)^2 \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$. Так как из предыдущего шага $a^2+b^2 \ge 8$, то, возведя обе части в квадрат, получим $(a^2+b^2)^2 \ge 8^2 = 64$. Подставим этот результат в неравенство для $a^4+b^4$: $a^4+b^4 \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2} \ge \frac{64}{2} = 32$. Следовательно, $a^4+b^4 \ge 32$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.