Номер 1.76, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.7*. Доказательство числовых неравенств. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.76, страница 34.

1.76 Докажите, что для любых действительных чисел a, b, c, x справедливы неравенства:

а) $ \frac{x^2+1}{2} \ge x; $

б) $ \frac{x^2+9}{6} \ge x; $

в) $ x^4+x^2+2 > 0; $

г) $ x^4-4x^2+5 > 0; $

д) $ 4c^2+1 \ge 4c; $

е) $ (a+b)^2 \ge 4ab; $

ж) $ \frac{2a}{a^2+1} \le 1; $

з) $ 2a^2+b^2+c^2 \ge 2a(b+c); $

и) $ (a^2-b^2)^2 \ge 4ab(a-b)^2; $

к) $ a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac. $

а) Докажем неравенство $\frac{x^2 + 1}{2} \ge x$. Умножим обе части неравенства на 2 (так как $2 > 0$, знак неравенства не меняется): $x^2 + 1 \ge 2x$ Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 2x + 1 \ge 0$ Левая часть является полным квадратом разности: $(x - 1)^2 \ge 0$ Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, неравенство справедливо для любого действительного числа $x$. Равенство достигается при $x = 1$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $\frac{x^2 + 9}{6} \ge x$. Умножим обе части на 6: $x^2 + 9 \ge 6x$ Перенесем $6x$ в левую часть: $x^2 - 6x + 9 \ge 0$ Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $(x - 3)^2 \ge 0$ Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Таким образом, неравенство верно для любого $x$. Равенство достигается при $x = 3$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $x^4 + x^2 + 2 > 0$. Для любого действительного числа $x$ справедливы следующие утверждения: $x^4 = (x^2)^2 \ge 0$ $x^2 \ge 0$ Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $x^4 + x^2 \ge 0$ Прибавим к обеим частям 2: $x^4 + x^2 + 2 \ge 2$ Поскольку $2 > 0$, то и $x^4 + x^2 + 2 > 0$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем неравенство $x^4 - 4x^2 + 5 > 0$. Представим левую часть в виде суммы квадрата и положительного числа. Для этого выделим полный квадрат: $x^4 - 4x^2 + 5 = (x^4 - 4x^2 + 4) + 1$ Выражение в скобках является полным квадратом: $(x^2 - 2)^2 + 1$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x^2 - 2)^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение выражения $(x^2 - 2)^2 + 1$ равно 1 (достигается при $x^2 = 2$). Поскольку $1 > 0$, то $(x^2 - 2)^2 + 1 > 0$ для любого действительного $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

д) Докажем неравенство $4c^2 + 1 \ge 4c$. Перенесем $4c$ в левую часть: $4c^2 - 4c + 1 \ge 0$ Левая часть является полным квадратом разности $(2c - 1)^2$: $(2c - 1)^2 \ge 0$ Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство верно для любого $c$. Равенство достигается при $2c - 1 = 0$, то есть $c = 1/2$.
Ответ: Неравенство доказано.

е) Докажем неравенство $(a + b)^2 \ge 4ab$. Раскроем скобки в левой части: $a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab$ Перенесем $4ab$ в левую часть: $a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \ge 0$ $a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$ Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $(a - b)^2 \ge 0$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, следовательно, неравенство верно для любых $a$ и $b$. Равенство достигается при $a = b$.
Ответ: Неравенство доказано.

ж) Докажем неравенство $\frac{2a}{a^2 + 1} \le 1$. Знаменатель $a^2 + 1$ всегда положителен, так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, а значит $a^2 + 1 \ge 1$. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $a^2 + 1$, не меняя знака неравенства: $2a \le a^2 + 1$ Перенесем $2a$ в правую часть: $0 \le a^2 - 2a + 1$ Правая часть является полным квадратом: $(a - 1)^2 \ge 0$ Это неравенство верно для любого действительного $a$, так как квадрат числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $a = 1$.
Ответ: Неравенство доказано.

з) Докажем неравенство $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a(b + c)$. Раскроем скобки в правой части и перенесем все в левую: $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2ab + 2ac$ $2a^2 - 2ab - 2ac + b^2 + c^2 \ge 0$ Представим $2a^2$ как $a^2 + a^2$ и сгруппируем слагаемые: $(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) \ge 0$ Каждая из скобок является полным квадратом: $(a - b)^2 + (a - c)^2 \ge 0$ Это сумма двух квадратов. Каждый квадрат неотрицателен, поэтому их сумма также неотрицательна. Неравенство верно для любых $a, b, c$. Равенство достигается, когда оба слагаемых равны нулю, то есть $a - b = 0$ и $a - c = 0$, что означает $a = b = c$.
Ответ: Неравенство доказано.

и) Докажем неравенство $(a^2 - b^2)^2 \ge 4ab(a - b)^2$. Перенесем все члены в левую часть: $(a^2 - b^2)^2 - 4ab(a - b)^2 \ge 0$ Применим формулу разности квадратов к первому слагаемому: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. $((a - b)(a + b))^2 - 4ab(a - b)^2 \ge 0$ $(a - b)^2 (a + b)^2 - 4ab(a - b)^2 \ge 0$ Вынесем общий множитель $(a - b)^2$ за скобки: $(a - b)^2 [ (a + b)^2 - 4ab ] \ge 0$ Раскроем скобки внутри квадратных скобок: $(a + b)^2 - 4ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Подставим это обратно в неравенство: $(a - b)^2 (a - b)^2 \ge 0$ $(a - b)^4 \ge 0$ Четвертая степень любого действительного числа всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство справедливо для любых $a$ и $b$. Равенство достигается при $a = b$.
Ответ: Неравенство доказано.

к) Докажем неравенство $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ac$. Умножим обе части неравенства на 2: $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \ge 2ab + 2bc + 2ac$ Перенесем все члены в левую часть: $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac \ge 0$ Сгруппируем слагаемые, представив $2a^2 = a^2+a^2$, $2b^2 = b^2+b^2$, $2c^2 = c^2+c^2$: $(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) \ge 0$ Каждое выражение в скобках является полным квадратом: $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge 0$ Сумма квадратов действительных чисел всегда неотрицательна. Неравенство верно для любых $a, b, c$. Равенство достигается, когда все слагаемые равны нулю, то есть $a - b = 0$, $b - c = 0$, и $c - a = 0$, что означает $a = b = c$.
Ответ: Неравенство доказано.