Номер 1.73, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.73, страница 30.

1.73 В классе имеется шесть сильных математиков. Сколькими способами из них можно составить команду на районную олимпиаду по математике, если от класса можно послать команду:

а) из четырёх человек;

б) от двух до четырёх человек?

а) из четырёх человек;
Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать 4 человека из 6 без учета порядка. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.
Общее количество математиков $n = 6$.
Количество человек в команде $k = 4$.
Формула для расчета числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Подставляя наши значения, получаем:
$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$
Таким образом, существует 15 способов составить команду из четырёх человек.
Ответ: 15

б) от двух до четырёх человек?
В данном случае команда может состоять из двух, трёх или четырёх человек. Так как эти варианты взаимоисключающие, общее количество способов находится как сумма способов для каждого размера команды (по правилу суммы в комбинаторике).
Необходимо рассчитать число сочетаний для каждого случая и сложить результаты.
1. Количество способов сформировать команду из 2 человек ($k=2$):
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$
2. Количество способов сформировать команду из 3 человек ($k=3$):
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
3. Количество способов сформировать команду из 4 человек ($k=4$):
Этот результат уже был найден в пункте а): $C_6^4 = 15$.
Теперь просуммируем количество способов для всех возможных составов команды:
$N_{общ} = C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 = 15 + 20 + 15 = 50$
Следовательно, существует 50 способов составить команду, в которой от двух до четырёх человек.
Ответ: 50