Номер 1.71, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.6. Сочетания - номер 1.71, страница 30.

Условие.

1.71 При встрече $n$ друзей обменялись рукопожатиями. Определите число рукопожатий.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить общее число рукопожатий, нужно найти количество всех уникальных пар, которые можно составить из $n$ друзей. Каждое рукопожатие — это взаимодействие между двумя людьми, и порядок в паре не важен (рукопожатие между другом А и другом Б — это то же самое, что и рукопожатие между Б и А).

Эта задача является классической задачей комбинаторики и решается с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$. Формула имеет вид:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество людей (элементов) равно $n$, а для одного рукопожатия требуется выбрать $k=2$ человека. Подставляем эти значения в формулу:
Число рукопожатий = $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}$

Для упрощения выражения раскроем факториалы ($n! = n \times (n-1) \times (n-2)!$ и $2! = 2 \times 1 = 2$):
$C_n^2 = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times (n-2)!}$

Сократив общий множитель $(n-2)!$ в числителе и знаменателе, получаем итоговую формулу:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Также можно рассуждать последовательно: первый друг пожимает руку $n-1$ другим. Второй пожимает руку оставшимся $n-2$ друзьям (его рукопожатие с первым уже посчитано). Третий — $n-3$ друзьям, и так далее до предпоследнего, который сделает одно рукопожатие с последним. Общее число рукопожатий будет суммой арифметической прогрессии: $S = (n-1) + (n-2) + \dots + 1$. Эта сумма также равна $\frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$