Номер 1.71, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.71, страница 30.

1.71 При встрече $n$ друзей обменялись рукопожатиями. Определите число рукопожатий.

Чтобы определить общее число рукопожатий, нужно найти количество всех уникальных пар, которые можно составить из $n$ друзей. Каждое рукопожатие — это взаимодействие между двумя людьми, и порядок в паре не важен (рукопожатие между другом А и другом Б — это то же самое, что и рукопожатие между Б и А).

Эта задача является классической задачей комбинаторики и решается с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$. Формула имеет вид:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество людей (элементов) равно $n$, а для одного рукопожатия требуется выбрать $k=2$ человека. Подставляем эти значения в формулу:
Число рукопожатий = $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}$

Для упрощения выражения раскроем факториалы ($n! = n \times (n-1) \times (n-2)!$ и $2! = 2 \times 1 = 2$):
$C_n^2 = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times (n-2)!}$

Сократив общий множитель $(n-2)!$ в числителе и знаменателе, получаем итоговую формулу:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Также можно рассуждать последовательно: первый друг пожимает руку $n-1$ другим. Второй пожимает руку оставшимся $n-2$ друзьям (его рукопожатие с первым уже посчитано). Третий — $n-3$ друзьям, и так далее до предпоследнего, который сделает одно рукопожатие с последним. Общее число рукопожатий будет суммой арифметической прогрессии: $S = (n-1) + (n-2) + \dots + 1$. Эта сумма также равна $\frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$