Номер 1.64, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.6. Сочетания - номер 1.64, страница 29.

Условие.

1.64 Используя равенство $C_n^k = C_n^{n-k}$, вычислите:

а) $C_{10}^9$;

б) $C_{10}^8$;

в) $C_{12}^{10}$;

г) $C_{12}^{11}$;

д) $C_{200}^{199}$;

е) $C_{2000}^{1999}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления $C_{10}^9$ используем свойство симметрии сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$. В данном случае $n=10$ и $k=9$.

$C_{10}^9 = C_{10}^{10-9} = C_{10}^1$

Число сочетаний из $n$ по 1 равно $n$, поэтому:

$C_{10}^1 = 10$

Ответ: 10

б) Применим то же свойство к $C_{10}^8$. Здесь $n=10$ и $k=8$.

$C_{10}^8 = C_{10}^{10-8} = C_{10}^2$

Вычислим значение по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Ответ: 45

в) Для $C_{12}^{10}$ имеем $n=12$ и $k=10$. Используем свойство симметрии:

$C_{12}^{10} = C_{12}^{12-10} = C_{12}^2$

Вычислим полученное значение:

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 6 \cdot 11 = 66$

Ответ: 66

г) Для $C_{12}^{11}$ имеем $n=12$ и $k=11$. Преобразуем выражение с помощью указанного равенства:

$C_{12}^{11} = C_{12}^{12-11} = C_{12}^1$

Число сочетаний из $n$ по 1 равно $n$, следовательно:

$C_{12}^1 = 12$

Ответ: 12

д) Для $C_{200}^{199}$ имеем $n=200$ и $k=199$. Используем свойство симметрии:

$C_{200}^{199} = C_{200}^{200-199} = C_{200}^1$

Как и в предыдущих случаях, где $k-1=0$, а $k=1$:

$C_{200}^1 = 200$

Ответ: 200

е) Для $C_{2000}^{1999}$ имеем $n=2000$ и $k=1999$. Аналогично предыдущим примерам, преобразуем выражение:

$C_{2000}^{1999} = C_{2000}^{2000-1999} = C_{2000}^1$

Вычисляем значение:

$C_{2000}^1 = 2000$

Ответ: 2000