Номер 1.57, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.5. Размещения. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.57, страница 27.

1.57 Выпишите все размещения из четырёх элементов $x_1, x_2, x_3, x_4$ по два. Чему равно $A_4^2$?

Выпишите все размещения из четырёх элементов $x_1, x_2, x_3, x_4$ по два.
Размещением называется упорядоченный набор элементов. В данном случае необходимо составить все возможные упорядоченные пары из 4-х различных элементов. Порядок элементов в паре имеет значение, т.е. $(x_1, x_2)$ и $(x_2, x_1)$ являются разными размещениями.
Выпишем все размещения, систематически перебирая варианты для первого и второго элементов:
Пары, начинающиеся с $x_1$: $(x_1, x_2), (x_1, x_3), (x_1, x_4)$.
Пары, начинающиеся с $x_2$: $(x_2, x_1), (x_2, x_3), (x_2, x_4)$.
Пары, начинающиеся с $x_3$: $(x_3, x_1), (x_3, x_2), (x_3, x_4)$.
Пары, начинающиеся с $x_4$: $(x_4, x_1), (x_4, x_2), (x_4, x_3)$.
Ответ: $(x_1, x_2), (x_1, x_3), (x_1, x_4), (x_2, x_1), (x_2, x_3), (x_2, x_4), (x_3, x_1), (x_3, x_2), (x_3, x_4), (x_4, x_1), (x_4, x_2), (x_4, x_3)$.

Чему равно $A_4^2$?
Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашей задаче общее число элементов $n=4$, а количество элементов в каждом размещении $k=2$.
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 4 \cdot 3 = 12$.
Это число равно количеству размещений, перечисленных в первой части ответа.
Ответ: 12.