Номер 1.55, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.4. Перестановки. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.55, страница 24.

1.55* Сколькими различными способами можно усадить в ряд трёх мальчиков и трёх девочек так, чтобы никакие два мальчика и никакие две девочки не оказались рядом?

В данной задаче требуется рассадить в ряд трёх мальчиков (М) и трёх девочек (Д) так, чтобы представители одного пола не сидели рядом. Это означает, что мальчики и девочки должны строго чередоваться.

Поскольку количество мальчиков и девочек одинаковое (по 3), возможны два общих варианта рассадки (две схемы):

1. Ряд начинается с мальчика: М Д М Д М Д
2. Ряд начинается с девочки: Д М Д М Д М

Рассчитаем количество способов для каждого из этих двух случаев.

Случай 1: расстановка вида М Д М Д М Д

На 3 места, предназначенные для мальчиков, мы можем рассадить трёх разных мальчиков. Количество способов сделать это равно числу перестановок из 3 элементов, то есть $3!$.
$P_М = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.

Аналогично, на 3 места, предназначенные для девочек, мы можем рассадить трёх разных девочек $3!$ способами.
$P_Д = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.

Поскольку выбор рассадки мальчиков и выбор рассадки девочек — независимые события, по правилу произведения общее число способов для этой схемы равно:
$N_1 = P_М \times P_Д = 3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$ способов.

Случай 2: расстановка вида Д М Д М Д М

Этот случай полностью симметричен первому. Мы можем рассадить трёх девочек на их места $3!$ способами и трёх мальчиков на их места $3!$ способами.
Общее число способов для этой схемы также равно:
$N_2 = P_Д \times P_М = 3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$ способов.

Общее количество способов

Чтобы найти общее количество способов, нужно сложить количество способов для каждого из двух взаимоисключающих случаев (ряд может начинаться либо с мальчика, либо с девочки).
$N_{общ} = N_1 + N_2 = 36 + 36 = 72$.

Ответ: 72