Номер 1.52, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.4. Перестановки - номер 1.52, страница 24.

Условие.

1.52 Верно ли, что:

а) $P_5 = 5 \cdot P_4$;

б) $P_6 = 6 \cdot P_5$;

в) $P_{100} = 100 \cdot P_{99}$;

г) $P_n = n \cdot P_{n-1}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи воспользуемся определением числа перестановок из $n$ элементов. Число перестановок $P_n$ равно факториалу числа $n$, то есть $P_n = n!$.

Факториал числа $n$ ($n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

Основное рекуррентное свойство факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$.

Используя обозначение для перестановок, это свойство можно записать как $P_n = n \cdot P_{n-1}$.

Проверим каждое утверждение.

а) Проверим равенство $P_5 = 5 \cdot P_4$.

Вычислим левую часть равенства:

$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

Вычислим правую часть равенства:

$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

$5 \cdot P_4 = 5 \cdot 24 = 120$.

Поскольку левая и правая части равны ($120 = 120$), утверждение верно. Это частный случай рекуррентного свойства при $n=5$.

Ответ: верно.

б) Проверим равенство $P_6 = 6 \cdot P_5$.

Воспользуемся рекуррентным свойством $P_n = n \cdot P_{n-1}$ для $n=6$.

$P_6 = 6 \cdot P_{6-1} = 6 \cdot P_5$.

Равенство является верным согласно свойству. Проверим прямым вычислением:

$P_6 = 6! = 720$.

$P_5 = 5! = 120$.

$6 \cdot P_5 = 6 \cdot 120 = 720$.

Так как $720 = 720$, утверждение верно.

Ответ: верно.

в) Проверим равенство $P_{100} = 100 \cdot P_{99}$.

Это также частный случай рекуррентного свойства $P_n = n \cdot P_{n-1}$ при $n=100$.

$P_{100} = 100 \cdot P_{100-1} = 100 \cdot P_{99}$.

Утверждение основано на определении факториала:

$P_{100} = 100! = 100 \cdot (99 \cdot 98 \cdot \dots \cdot 1) = 100 \cdot 99! = 100 \cdot P_{99}$.

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

г) Проверим равенство $P_n = n \cdot P_{n-1}$.

Это утверждение является общей формулой, выражающей рекуррентное свойство числа перестановок (и факториалов).

По определению, $P_n = n!$ и $P_{n-1} = (n-1)!$.

По определению факториала:

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$.

Сгруппируем множители:

$n! = n \cdot \underbrace{((n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1)}_{(n-1)!}$.

Отсюда следует, что $n! = n \cdot (n-1)!$.

Заменяя факториалы на обозначения перестановок, получаем $P_n = n \cdot P_{n-1}$.

Это соотношение является верным для любого натурального числа $n \ge 1$.

Ответ: верно.