Номер 1.52, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
1.4. Перестановки. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.52, страница 24.
№1.52 (с. 24)
Условие. №1.52 (с. 24)
скриншот условия

1.52 Верно ли, что:
а) $P_5 = 5 \cdot P_4$;
б) $P_6 = 6 \cdot P_5$;
в) $P_{100} = 100 \cdot P_{99}$;
г) $P_n = n \cdot P_{n-1}?$
Решение 1. №1.52 (с. 24)




Решение 2. №1.52 (с. 24)

Решение 3. №1.52 (с. 24)

Решение 4. №1.52 (с. 24)

Решение 5. №1.52 (с. 24)
Для решения данной задачи воспользуемся определением числа перестановок из $n$ элементов. Число перестановок $P_n$ равно факториалу числа $n$, то есть $P_n = n!$.
Факториал числа $n$ ($n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.
Основное рекуррентное свойство факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$.
Используя обозначение для перестановок, это свойство можно записать как $P_n = n \cdot P_{n-1}$.
Проверим каждое утверждение.
а) Проверим равенство $P_5 = 5 \cdot P_4$.
Вычислим левую часть равенства:
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
Вычислим правую часть равенства:
$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
$5 \cdot P_4 = 5 \cdot 24 = 120$.
Поскольку левая и правая части равны ($120 = 120$), утверждение верно. Это частный случай рекуррентного свойства при $n=5$.
Ответ: верно.
б) Проверим равенство $P_6 = 6 \cdot P_5$.
Воспользуемся рекуррентным свойством $P_n = n \cdot P_{n-1}$ для $n=6$.
$P_6 = 6 \cdot P_{6-1} = 6 \cdot P_5$.
Равенство является верным согласно свойству. Проверим прямым вычислением:
$P_6 = 6! = 720$.
$P_5 = 5! = 120$.
$6 \cdot P_5 = 6 \cdot 120 = 720$.
Так как $720 = 720$, утверждение верно.
Ответ: верно.
в) Проверим равенство $P_{100} = 100 \cdot P_{99}$.
Это также частный случай рекуррентного свойства $P_n = n \cdot P_{n-1}$ при $n=100$.
$P_{100} = 100 \cdot P_{100-1} = 100 \cdot P_{99}$.
Утверждение основано на определении факториала:
$P_{100} = 100! = 100 \cdot (99 \cdot 98 \cdot \dots \cdot 1) = 100 \cdot 99! = 100 \cdot P_{99}$.
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.
г) Проверим равенство $P_n = n \cdot P_{n-1}$.
Это утверждение является общей формулой, выражающей рекуррентное свойство числа перестановок (и факториалов).
По определению, $P_n = n!$ и $P_{n-1} = (n-1)!$.
По определению факториала:
$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$.
Сгруппируем множители:
$n! = n \cdot \underbrace{((n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1)}_{(n-1)!}$.
Отсюда следует, что $n! = n \cdot (n-1)!$.
Заменяя факториалы на обозначения перестановок, получаем $P_n = n \cdot P_{n-1}$.
Это соотношение является верным для любого натурального числа $n \ge 1$.
Ответ: верно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1.52 расположенного на странице 24 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.52 (с. 24), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.