Номер 1.54, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.4. Перестановки. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.54, страница 24.

1.54 Множество, состоящее из шести элементов $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$, упорядочили всеми возможными способами. Сколько таких способов? В скольких случаях:

а) элемент $x_1$ будет первым по порядку;

б) элемент $x_1$ не будет ни первым, ни последним;

в) элемент $x_1$ будет первым, а элемент $x_6$ будет последним;

г) элемент $x_1$ будет первым, а элемент $x_6$ не будет последним;

д) элемент $x_1$ будет стоять рядом с элементом $x_6$;

е) элемент $x_1$ не будет стоять рядом с элементом $x_6$;

ж) элемент $x_1$ будет стоять перед элементом $x_6$?

Задача состоит в нахождении числа перестановок (упорядочиваний) множества из 6 различных элементов. Общее число таких способов (перестановок) равно числу перестановок из $n$ элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=6$.

Общее число способов упорядочить 6 элементов: $P_6 = 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$.

а) элемент $x_1$ будет первым по порядку

Если элемент $x_1$ зафиксирован на первой позиции, то нам остается расположить оставшиеся 5 элементов ($x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$) на оставшихся 5 позициях. Число способов сделать это равно числу перестановок из 5 элементов. $P_5 = 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.
Ответ: 120

б) элемент $x_1$ не будет ни первым, ни последним

Всего есть 6 позиций. Элемент $x_1$ не может стоять на первой и последней позициях. Следовательно, для $x_1$ остается $6 - 2 = 4$ возможные позиции. После того как мы поместили $x_1$ на одну из этих 4 позиций, оставшиеся 5 элементов нужно расположить на оставшихся 5 местах. Это можно сделать $5!$ способами. Используя правило произведения, получаем общее число способов: $4 \times 5! = 4 \times 120 = 480$.
Ответ: 480

в) элемент $x_1$ будет первым, а элемент $x_6$ будет последним

Если $x_1$ зафиксирован на первой позиции, а $x_6$ — на последней, то нам нужно упорядочить оставшиеся 4 элемента ($x_2, x_3, x_4, x_5$) на 4 средних позициях. Число способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов. $P_4 = 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.
Ответ: 24

г) элемент $x_1$ будет первым, а элемент $x_6$ не будет последним

Это можно найти, вычитая из общего числа случаев, когда $x_1$ стоит на первом месте, те случаи, когда $x_1$ стоит на первом месте, а $x_6$ — на последнем. Из пункта (а) мы знаем, что число случаев, когда $x_1$ первый, равно $5! = 120$. Из пункта (в) мы знаем, что число случаев, когда $x_1$ первый, а $x_6$ последний, равно $4! = 24$. Следовательно, число искомых случаев: $5! - 4! = 120 - 24 = 96$.
Ответ: 96

д) элемент $x_1$ будет стоять рядом с элементом $x_6$

Будем рассматривать пару элементов ($x_1, x_6$) как один единый "блок". Теперь нам нужно расположить 5 объектов: этот блок и оставшиеся 4 элемента ($x_2, x_3, x_4, x_5$). Число способов расположить эти 5 объектов равно $5!$. Внутри самого "блока" элементы $x_1$ и $x_6$ могут располагаться двумя способами: ($x_1, x_6$) или ($x_6, x_1$). По правилу произведения, общее число таких перестановок равно: $5! \times 2 = 120 \times 2 = 240$.
Ответ: 240

е) элемент $x_1$ не будет стоять рядом с элементом $x_6$

Это событие является дополнением к событию из пункта (д). Чтобы найти число таких случаев, нужно из общего числа перестановок вычесть число перестановок, где $x_1$ и $x_6$ стоят рядом. Общее число перестановок равно $6! = 720$. Число перестановок, где $x_1$ и $x_6$ рядом, равно $240$ (из пункта д). $6! - 240 = 720 - 240 = 480$.
Ответ: 480

ж) элемент $x_1$ будет стоять перед элементом $x_6$

В любой перестановке из 6 элементов элемент $x_1$ может стоять либо перед $x_6$, либо после $x_6$. Эти два случая полностью симметричны. Поскольку элементы различны, не может быть случая, где они на одной позиции. Следовательно, ровно в половине всех перестановок $x_1$ будет стоять перед $x_6$. Общее число перестановок равно $6! = 720$. Число искомых случаев: $\frac{6!}{2} = \frac{720}{2} = 360$.
Ответ: 360