Номер 1.48, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.4. Перестановки. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.48, страница 24.

1.48 Запишите в виде дроби:

a) $\frac{1}{(n+1)!} - \frac{n^2 + 5n}{(n+3)!}$;

б) $\frac{n+2}{n!} - \frac{3n+2}{(n+1)!}$;

в) $\frac{1}{(k-1)!} - \frac{k}{(k+1)!}$;

г) $\frac{1}{(k-2)!} - \frac{k^3+k}{(k+1)!}$.

а) $\frac{1}{(n+1)!} - \frac{n^2+5n}{(n+3)!}$

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. В данном случае общим знаменателем будет $(n+3)!$.

Используя определение факториала, $(n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)!$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(n+3)(n+2)$:

$\frac{1}{(n+1)!} = \frac{1 \cdot (n+3)(n+2)}{(n+1)! \cdot (n+3)(n+2)} = \frac{n^2+2n+3n+6}{(n+3)!} = \frac{n^2+5n+6}{(n+3)!}$

Теперь можно выполнить вычитание дробей:

$\frac{n^2+5n+6}{(n+3)!} - \frac{n^2+5n}{(n+3)!} = \frac{(n^2+5n+6) - (n^2+5n)}{(n+3)!} = \frac{n^2+5n+6-n^2-5n}{(n+3)!} = \frac{6}{(n+3)!}$

Ответ: $\frac{6}{(n+3)!}$

б) $\frac{n+2}{n!} - \frac{3n+2}{(n+1)!}$

Общим знаменателем является $(n+1)!$.

Так как $(n+1)! = (n+1)n!$, домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(n+1)$:

$\frac{n+2}{n!} = \frac{(n+2)(n+1)}{n!(n+1)} = \frac{n^2+n+2n+2}{(n+1)!} = \frac{n^2+3n+2}{(n+1)!}$

Выполним вычитание:

$\frac{n^2+3n+2}{(n+1)!} - \frac{3n+2}{(n+1)!} = \frac{(n^2+3n+2) - (3n+2)}{(n+1)!} = \frac{n^2+3n+2-3n-2}{(n+1)!} = \frac{n^2}{(n+1)!}$

Ответ: $\frac{n^2}{(n+1)!}$

в) $\frac{1}{(k-1)!} - \frac{k}{(k+1)!}$

Общий знаменатель — $(k+1)!$.

По определению факториала $(k+1)! = (k+1)k(k-1)!$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(k+1)k$:

$\frac{1}{(k-1)!} = \frac{1 \cdot (k+1)k}{(k-1)! \cdot (k+1)k} = \frac{k^2+k}{(k+1)!}$

Выполним вычитание:

$\frac{k^2+k}{(k+1)!} - \frac{k}{(k+1)!} = \frac{k^2+k-k}{(k+1)!} = \frac{k^2}{(k+1)!}$

Ответ: $\frac{k^2}{(k+1)!}$

г) $\frac{1}{(k-2)!} - \frac{k^3+k}{(k+1)!}$

Общий знаменатель — $(k+1)!$.

Так как $(k+1)! = (k+1)k(k-1)(k-2)!$, домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(k+1)k(k-1)$:

$\frac{1}{(k-2)!} = \frac{1 \cdot (k+1)k(k-1)}{(k-2)! \cdot (k+1)k(k-1)} = \frac{k(k^2-1)}{(k+1)!} = \frac{k^3-k}{(k+1)!}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{k^3-k}{(k+1)!} - \frac{k^3+k}{(k+1)!} = \frac{(k^3-k) - (k^3+k)}{(k+1)!} = \frac{k^3-k-k^3-k}{(k+1)!} = \frac{-2k}{(k+1)!}$

Ответ: $\frac{-2k}{(k+1)!}$