Номер 1.44, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.44, страница 22.

1.44* Докажите, что:

a) $7^n + 9$ делится на 8 для любого нечётного натурального $n$;

б) $3^n + 7$ делится на 8 для любого чётного натурального $n$.

а) Докажем, что выражение $7^n + 9$ делится на 8 для любого нечётного натурального $n$.

Для доказательства воспользуемся методом сравнений по модулю. Нам необходимо показать, что $7^n + 9 \equiv 0 \pmod{8}$.

Рассмотрим остатки от деления чисел 7 и 9 на 8:

$7 \equiv -1 \pmod{8}$

$9 \equiv 1 \pmod{8}$

Подставим эти сравнения в исходное выражение:

$7^n + 9 \equiv (-1)^n + 1 \pmod{8}$

Согласно условию, $n$ является нечётным натуральным числом. Для любого нечётного $n$ выполняется равенство $(-1)^n = -1$.

Таким образом, сравнение принимает вид:

$(-1)^n + 1 \equiv -1 + 1 \equiv 0 \pmod{8}$

Поскольку остаток от деления выражения $7^n + 9$ на 8 равен 0, это доказывает, что $7^n + 9$ делится на 8 без остатка для любого нечётного натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что выражение $3^n + 7$ делится на 8 для любого чётного натурального $n$.

Также воспользуемся сравнениями по модулю. Нам необходимо показать, что $3^n + 7 \equiv 0 \pmod{8}$.

По условию, $n$ — чётное натуральное число. Это значит, что $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Заменим $n$ на $2k$ в исходном выражении:

$3^n + 7 = 3^{2k} + 7 = (3^2)^k + 7 = 9^k + 7$

Теперь рассмотрим полученное выражение по модулю 8:

$9^k + 7 \pmod{8}$

Найдем остаток от деления 9 на 8:

$9 \equiv 1 \pmod{8}$

Подставим это значение в наше сравнение:

$9^k + 7 \equiv 1^k + 7 \pmod{8}$

Для любого натурального числа $k$ справедливо, что $1^k = 1$. Поэтому:

$1^k + 7 \equiv 1 + 7 \equiv 8 \equiv 0 \pmod{8}$

Остаток от деления выражения $3^n + 7$ на 8 равен 0, следовательно, $3^n + 7$ делится на 8 для любого чётного натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.