Номер 1.49, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.4. Перестановки. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.49, страница 24.

1.49$^\circ$ Что называют перестановкой из $n$ элементов?

Перестановкой из 𝑛 элементов называют любую упорядоченную последовательность (или, по-другому, кортеж), которая составлена из всех этих 𝑛 элементов, причём каждый элемент используется в последовательности ровно один раз. Основным свойством перестановки, отличающим её от других комбинаторных объектов (например, сочетаний), является то, что порядок следования элементов имеет значение. Любые два расположения, которые отличаются друг от друга порядком элементов, считаются различными перестановками.

Например, рассмотрим множество, состоящее из трёх элементов: {A, Б, В}. Перестановками этого множества будут все возможные способы расставить эти буквы в ряд. Всего таких способов 6:
(А, Б, В), (А, В, Б), (Б, А, В), (Б, В, А), (В, А, Б), (В, Б, А).

Число всех возможных перестановок из 𝑛 различных элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле 𝑛-факториал:
$P_n = n!$
где $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до 𝑛 включительно:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$.
По определению, также принимается, что $0! = 1$.

Эта формула легко выводится из комбинаторного правила умножения. При создании упорядоченной последовательности из 𝑛 элементов мы делаем последовательный выбор:
- Для первой позиции в последовательности мы можем выбрать любой из 𝑛 элементов (имеем 𝑛 вариантов).
- Для второй позиции, после того как первый элемент выбран, остаётся $n-1$ элемент, поэтому у нас есть $n-1$ вариант.
- Для третьей позиции остаётся $n-2$ варианта, и так далее.
- Для последней, 𝑛-й, позиции остаётся только один неиспользованный элемент (1 вариант).
Общее число способов составить такую последовательность равно произведению числа вариантов на каждом шаге: $P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1 = n!$.

Ответ: Перестановкой из 𝑛 элементов называется любое расположение этих элементов в определённом порядке.