Номер 1.47, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.4. Перестановки. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.47, страница 24.

1.47 Докажите, что для любого натурального $n$ верно равенство:

а) $n! + (n + 1)! = n! (n + 2);$

б) $(n + 1)! - n! = n! n;$

в) $(n - 1)! + n! + (n + 1)! = (n + 1)^2 (n - 1)!;$

г) $(n + 1)! - n! + (n - 1)! = (n^2 + 1) (n - 1)!;$

д) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = n^2 + n;$

е) $\frac{(n-1)!}{n!} - \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n(n+1)}.$

Для доказательства равенств будем преобразовывать их левые части, используя определение факториала $k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$. Основные свойства, которые мы будем использовать:

• $n! = n \cdot (n-1)!$
• $(n+1)! = (n+1) \cdot n! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$

а) $n! + (n + 1)! = n!(n + 2)$

Преобразуем левую часть равенства. Вынесем общий множитель $n!$ за скобки, предварительно представив $(n+1)!$ как $(n+1) \cdot n!$.

$n! + (n + 1)! = n! + (n + 1) \cdot n! = n! \cdot (1 + (n + 1)) = n! \cdot (n + 2)$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) $(n + 1)! - n! = n!n$

Преобразуем левую часть равенства. Вынесем общий множитель $n!$ за скобки.

$(n + 1)! - n! = (n + 1) \cdot n! - n! = n! \cdot ((n + 1) - 1) = n! \cdot n$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

в) $(n - 1)! + n! + (n + 1)! = (n + 1)^2(n - 1)!$

Преобразуем левую часть равенства. Приведем все слагаемые к общему множителю $(n-1)!$.

$n! = n \cdot (n-1)!$

$(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$

Подставим эти выражения в левую часть:

$(n - 1)! + n \cdot (n - 1)! + (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)!$

Вынесем общий множитель $(n-1)!$ за скобки:

$(n - 1)! \cdot (1 + n + n(n + 1)) = (n - 1)! \cdot (1 + n + n^2 + n) = (n - 1)! \cdot (n^2 + 2n + 1)$

Выражение в скобках является полным квадратом: $n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$.

Таким образом, левая часть равна $(n + 1)^2 (n - 1)!$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Равенство доказано.

г) $(n + 1)! - n! + (n - 1)! = (n^2 + 1)(n - 1)!$

Преобразуем левую часть, приведя все слагаемые к множителю $(n-1)!$.

$(n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)! - n \cdot (n - 1)! + (n - 1)!$

Вынесем общий множитель $(n-1)!$ за скобки:

$(n - 1)! \cdot (n(n + 1) - n + 1) = (n - 1)! \cdot (n^2 + n - n + 1) = (n - 1)! \cdot (n^2 + 1)$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

д) $\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = n^2 + n$

Преобразуем левую часть. Распишем числитель до множителя $(n-1)!$, чтобы сократить дробь.

$\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)!}{(n - 1)!} = (n + 1) \cdot n = n^2 + n$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

е) $\frac{(n - 1)!}{n!} - \frac{n!}{(n + 1)!} = \frac{1}{n(n + 1)}$

Преобразуем левую часть равенства. Упростим каждую дробь по отдельности.

$\frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{(n - 1)!}{n \cdot (n - 1)!} = \frac{1}{n}$

$\frac{n!}{(n + 1)!} = \frac{n!}{(n + 1) \cdot n!} = \frac{1}{n + 1}$

Теперь вычтем вторую дробь из первой и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n(n + 1)} - \frac{n}{n(n + 1)} = \frac{n + 1 - n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)}$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.