Номер 1.41, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.41, страница 21.

1.41* Задача ал-Каши (XIV–XV вв.)

Докажите, что для любого натурального $n$ верно равенство

$1^4 + 2^4 + 3^4 + ... + n^4 = \frac{1}{30}(6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n).$

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом математической индукции.

Пусть $P(n)$ — это утверждение, что $1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4 = \frac{1}{30}(6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n)$.

Шаг 1: База индукции

Проверим справедливость утверждения для $n=1$.

Левая часть равенства: $1^4 = 1$.

Правая часть равенства: $\frac{1}{30}(6 \cdot 1^5 + 15 \cdot 1^4 + 10 \cdot 1^3 - 1) = \frac{1}{30}(6 + 15 + 10 - 1) = \frac{30}{30} = 1$.

Так как $1 = 1$, утверждение $P(1)$ верно.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, предположим, что верно равенство:

$1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + k^4 = \frac{1}{30}(6k^5 + 15k^4 + 10k^3 - k)$.

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что из верности $P(k)$ следует верность $P(k+1)$. Утверждение $P(k+1)$ имеет вид:

$1^4 + 2^4 + \dots + k^4 + (k+1)^4 = \frac{1}{30}(6(k+1)^5 + 15(k+1)^4 + 10(k+1)^3 - (k+1))$.

Рассмотрим левую часть этого равенства. Используя индукционное предположение, мы можем заменить сумму первых $k$ слагаемых:

$1^4 + 2^4 + \dots + k^4 + (k+1)^4 = \left(\frac{1}{30}(6k^5 + 15k^4 + 10k^3 - k)\right) + (k+1)^4$.

Приведем выражение к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{30}(6k^5 + 15k^4 + 10k^3 - k) + \frac{30(k+1)^4}{30} = \frac{1}{30}[ (6k^5 + 15k^4 + 10k^3 - k) + 30(k+1)^4 ]$.

Раскроем $(k+1)^4$ по формуле бинома Ньютона: $(k+1)^4 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$.

$\frac{1}{30}[ 6k^5 + 15k^4 + 10k^3 - k + 30(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) ] = \frac{1}{30}[ 6k^5 + 15k^4 + 10k^3 - k + 30k^4 + 120k^3 + 180k^2 + 120k + 30 ]$.

Сгруппируем слагаемые по степеням $k$:

$\frac{1}{30}[ 6k^5 + (15+30)k^4 + (10+120)k^3 + 180k^2 + (-1+120)k + 30 ] = \frac{1}{30}(6k^5 + 45k^4 + 130k^3 + 180k^2 + 119k + 30)$.

Теперь преобразуем правую часть утверждения $P(k+1)$, чтобы показать, что она равна полученному выражению.

$\frac{1}{30}(6(k+1)^5 + 15(k+1)^4 + 10(k+1)^3 - (k+1))$.

Раскроем скобки, используя бином Ньютона:

• $6(k+1)^5 = 6(k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1) = 6k^5 + 30k^4 + 60k^3 + 60k^2 + 30k + 6$
• $15(k+1)^4 = 15(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) = 15k^4 + 60k^3 + 90k^2 + 60k + 15$
• $10(k+1)^3 = 10(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = 10k^3 + 30k^2 + 30k + 10$
• $-(k+1) = -k - 1$

Сложим все эти выражения:

$(6k^5) + (30+15)k^4 + (60+60+10)k^3 + (60+90+30)k^2 + (30+60+30-1)k + (6+15+10-1)$

$= 6k^5 + 45k^4 + 130k^3 + 180k^2 + 119k + 30$.

Таким образом, правая часть равна:

$\frac{1}{30}(6k^5 + 45k^4 + 130k^3 + 180k^2 + 119k + 30)$.

Мы видим, что преобразованные левая и правая части утверждения $P(k+1)$ совпадают. Это доказывает индукционный переход.

Поскольку база индукции верна ($P(1)$ истинно) и индукционный переход доказан (из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$), по принципу математической индукции исходное равенство верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Равенство $1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4 = \frac{1}{30}(6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n)$ доказано методом математической индукции для всех натуральных $n$.