Номер 1.35, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.35, страница 20.

1.35 Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство:

а) $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{(n + 1) n}{2}$;

б) $2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n (n + 1)$;

в) $3 + 12 + \dots + 3 \cdot 4^{n-1} = 4^n - 1$;

г) $4 + 0 + \dots + 4 \cdot (2 - n) = 2n (3 - n)$;

д) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$;

е) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n (3n + 1) = n (n + 1)^2$;

ж) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}$;

з) $\frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(n + 3) \cdot (n + 4)} = \frac{n}{4 (n + 4)}$;

и) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2n - 1} + \frac{1}{2n}$.

Указание. Пусть A(n) и B(n) — некоторые выражения. Доказать равенство A(n) = B(n) для любого натурального n по индукции можно так:

1) Убедиться, что равенство $A(1) = B(1)$ выполняется.

2) Доказать равенство

$A(k + 1) - A(k) = B(k + 1) - B(k).$ (9)

3) Теперь из предположения $A(k) = B(k)$ и из равенства (9) следует, что $A(k + 1) = B(k + 1)$.

Тогда согласно принципу математической индукции доказываемое равенство верно для любого натурального n.

а) Докажем равенство $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $1$.
Правая часть: $\frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно.

Индукционное предположение (n=k):
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$.

Индукционный шаг (n=k+1):
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$, то есть:
$1 + 2 + 3 + \dots + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$(1 + 2 + 3 + \dots + k) + (k+1)$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

б) Докажем равенство $2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n+1)$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $2$.
Правая часть: $1 \cdot (1+1) = 2$.
$2 = 2$. Равенство верно.

Индукционное предположение (n=k):
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$2 + 4 + 6 + \dots + 2k = k(k+1)$.

Индукционный шаг (n=k+1):
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$, то есть:
$2 + 4 + 6 + \dots + 2k + 2(k+1) = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2)$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$(2 + 4 + 6 + \dots + 2k) + 2(k+1)$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2)$.
Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

в) Докажем равенство $3 + 12 + \dots + 3 \cdot 4^{n-1} = 4^n - 1$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $3 \cdot 4^{1-1} = 3 \cdot 4^0 = 3$.
Правая часть: $4^1 - 1 = 3$.
$3 = 3$. Равенство верно.

Индукционное предположение (n=k):
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$3 + 12 + \dots + 3 \cdot 4^{k-1} = 4^k - 1$.

Индукционный шаг (n=k+1):
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$, то есть:
$3 + 12 + \dots + 3 \cdot 4^{k-1} + 3 \cdot 4^{(k+1)-1} = 4^{k+1} - 1$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$(3 + 12 + \dots + 3 \cdot 4^{k-1}) + 3 \cdot 4^k$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$(4^k - 1) + 3 \cdot 4^k = 4^k + 3 \cdot 4^k - 1 = 4^k(1+3) - 1 = 4 \cdot 4^k - 1 = 4^{k+1} - 1$.
Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

г) Докажем равенство $4 + 0 + \dots + 4 \cdot (2-n) = 2n(3-n)$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $4 \cdot (2-1) = 4$.
Правая часть: $2 \cdot 1 \cdot (3-1) = 4$.
$4 = 4$. Равенство верно.

Индукционное предположение (n=k):
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$4 + 0 + \dots + 4 \cdot (2-k) = 2k(3-k)$.

Индукционный шаг (n=k+1):
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$, то есть:
$4 + 0 + \dots + 4 \cdot (2-k) + 4 \cdot (2-(k+1)) = 2(k+1)(3-(k+1)) = 2(k+1)(2-k)$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$(4 + 0 + \dots + 4 \cdot (2-k)) + 4(2-k-1) = (4 + 0 + \dots + 4 \cdot (2-k)) + 4(1-k)$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$2k(3-k) + 4(1-k) = 6k - 2k^2 + 4 - 4k = -2k^2 + 2k + 4 = -2(k^2 - k - 2) = -2(k-2)(k+1) = 2(2-k)(k+1)$.
Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

д) Докажем равенство $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot (1+1) = 2$.
Правая часть: $\frac{1 \cdot (1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$.
$2 = 2$. Равенство верно.

Индукционное предположение (n=k):
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$.

Индукционный шаг (n=k+1):
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$, то есть:
$1 \cdot 2 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$(1 \cdot 2 + \dots + k(k+1)) + (k+1)(k+2)$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2) \left(\frac{k}{3} + 1\right) = (k+1)(k+2) \frac{k+3}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

е) Докажем равенство $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n+1) = n(n+1)^2$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 4$.
Правая часть: $1 \cdot (1+1)^2 = 4$.
$4 = 4$. Равенство верно.

Индукционное предположение (n=k):
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k+1) = k(k+1)^2$.

Индукционный шаг (n=k+1):
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$, то есть:
$1 \cdot 4 + \dots + k(3k+1) + (k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)((k+1)+1)^2 = (k+1)(k+2)^2$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$(1 \cdot 4 + \dots + k(3k+1)) + (k+1)(3k+4)$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4) = (k+1)[k(k+1) + (3k+4)] = (k+1)(k^2+k+3k+4) = (k+1)(k^2+4k+4) = (k+1)(k+2)^2$.
Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

ж) Докажем равенство $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$.
Правая часть: $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Равенство верно.

Индукционное предположение (n=k):
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}$.

Индукционный шаг (n=k+1):
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$, то есть:
$\frac{1}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$(\frac{1}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{k(k+1)}) + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$\frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

з) Докажем равенство $\frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{(n+3)(n+4)} = \frac{n}{4(n+4)}$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $\frac{1}{(1+3)(1+4)} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}$.
Правая часть: $\frac{1}{4(1+4)} = \frac{1}{20}$.
$\frac{1}{20} = \frac{1}{20}$. Равенство верно.

Индукционное предположение (n=k):
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$\frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{(k+3)(k+4)} = \frac{k}{4(k+4)}$.

Индукционный шаг (n=k+1):
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$, то есть:
$\frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(k+3)(k+4)} + \frac{1}{((k+1)+3)((k+1)+4)} = \frac{k+1}{4((k+1)+4)} = \frac{k+1}{4(k+5)}$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$(\frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(k+3)(k+4)}) + \frac{1}{(k+4)(k+5)}$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$\frac{k}{4(k+4)} + \frac{1}{(k+4)(k+5)} = \frac{k(k+5)+4}{4(k+4)(k+5)} = \frac{k^2+5k+4}{4(k+4)(k+5)} = \frac{(k+1)(k+4)}{4(k+4)(k+5)} = \frac{k+1}{4(k+5)}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

и) Докажем равенство $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Правая часть: $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Равенство верно.

Индукционное предположение (n=k):
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$1 - \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \dots + \frac{1}{2k}$.

Индукционный шаг (n=k+1):
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$, то есть:
$1 - \frac{1}{2} + \dots - \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} = \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \dots + \frac{1}{2(k+1)}$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$(1 - \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k}) + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2}$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$(\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \dots + \frac{1}{2k}) + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2}$.
Перегруппируем слагаемые:
$\frac{1}{k+2} + \dots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{2k+2})$.
Преобразуем выражение в скобках:
$\frac{1}{k+1} - \frac{1}{2k+2} = \frac{2}{2(k+1)} - \frac{1}{2(k+1)} = \frac{1}{2(k+1)} = \frac{1}{2k+2}$.
Подставим результат обратно в выражение:
$\frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \dots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2}$.
Это выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.