Номер 1.32, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.32, страница 19.

1.32 Докажите методом математической индукции, что:

а) общий член арифметической прогрессии $a_n$ вычисляется по формуле $a_n = a_1 + (n - 1)d$;

б) общий член геометрической прогрессии $b_n$ вычисляется по формуле $b_n = b_1q^{n-1}$;

в) сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $a_n$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$;

г) сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $b_n$ $(q \neq 1)$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

а) Докажем формулу для n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n - 1)d$ методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим справедливость формулы для $n=1$.
Подставим $n=1$ в формулу: $a_1 = a_1 + (1-1)d = a_1 + 0 \cdot d = a_1$.
Равенство $a_1 = a_1$ верно. База индукции выполняется.

2. Шаг индукции.
Пусть формула верна для некоторого натурального числа $n=k$, то есть $a_k = a_1 + (k - 1)d$. Это наше индукционное предположение.
Докажем, что формула верна и для следующего числа $n=k+1$, то есть что $a_{k+1} = a_1 + ((k+1) - 1)d = a_1 + kd$.
По определению арифметической прогрессии, каждый следующий член получается из предыдущего добавлением разности прогрессии $d$: $a_{k+1} = a_k + d$.
Используем наше индукционное предположение для $a_k$:
$a_{k+1} = (a_1 + (k - 1)d) + d = a_1 + kd - d + d = a_1 + kd$.
Мы получили требуемое равенство для $n=k+1$. Таким образом, шаг индукции доказан.
Поскольку база и шаг индукции выполнены, формула верна для любого натурального $n$.
Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.

б) Докажем формулу для n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1q^{n-1}$ методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим справедливость формулы для $n=1$.
Подставим $n=1$ в формулу: $b_1 = b_1q^{1-1} = b_1q^0 = b_1 \cdot 1 = b_1$.
Равенство $b_1 = b_1$ верно. База индукции выполняется.

2. Шаг индукции.
Пусть формула верна для некоторого натурального числа $n=k$, то есть $b_k = b_1q^{k-1}$. Это наше индукционное предположение.
Докажем, что формула верна и для следующего числа $n=k+1$, то есть что $b_{k+1} = b_1q^{(k+1)-1} = b_1q^k$.
По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член получается из предыдущего умножением на знаменатель прогрессии $q$: $b_{k+1} = b_k \cdot q$.
Используем наше индукционное предположение для $b_k$:
$b_{k+1} = (b_1q^{k-1}) \cdot q = b_1q^{k-1+1} = b_1q^k$.
Мы получили требуемое равенство для $n=k+1$. Таким образом, шаг индукции доказан.
Поскольку база и шаг индукции выполнены, формула верна для любого натурального $n$.
Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.

в) Докажем формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$ методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим справедливость формулы для $n=1$. Сумма первого члена $S_1$ равна самому первому члену $a_1$.
Подставим $n=1$ в формулу: $S_1 = \frac{2a_1 + (1-1)d}{2} \cdot 1 = \frac{2a_1 + 0}{2} = a_1$.
Равенство $S_1 = a_1$ верно. База индукции выполняется.

2. Шаг индукции.
Пусть формула верна для некоторого натурального числа $n=k$, то есть $S_k = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$. Это наше индукционное предположение.
Докажем, что формула верна и для $n=k+1$, то есть что $S_{k+1} = \frac{2a_1 + ((k+1)-1)d}{2} \cdot (k+1) = \frac{2a_1 + kd}{2} \cdot (k+1)$.
Сумма $S_{k+1}$ по определению равна $S_k + a_{k+1}$. Используем доказанную в пункте (а) формулу для $a_{k+1} = a_1 + kd$.
$S_{k+1} = S_k + a_{k+1} = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k + (a_1 + kd)$.
Приведем к общему знаменателю:
$S_{k+1} = \frac{(2a_1 + kd - d)k + 2(a_1 + kd)}{2} = \frac{2a_1k + k^2d - kd + 2a_1 + 2kd}{2}$.
Сгруппируем слагаемые в числителе:
$S_{k+1} = \frac{(2a_1k + 2a_1) + (k^2d + kd)}{2} = \frac{2a_1(k+1) + kd(k+1)}{2}$.
Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки:
$S_{k+1} = \frac{(2a_1 + kd)(k+1)}{2}$.
Мы получили требуемое равенство для $n=k+1$. Шаг индукции доказан.
Поскольку база и шаг индукции выполнены, формула верна для любого натурального $n$.
Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.

г) Докажем формулу для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$) методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим справедливость формулы для $n=1$. Сумма первого члена $S_1$ равна самому первому члену $b_1$.
Подставим $n=1$ в формулу: $S_1 = \frac{b_1(q^1 - 1)}{q - 1} = b_1$.
Равенство $S_1 = b_1$ верно. База индукции выполняется.

2. Шаг индукции.
Пусть формула верна для некоторого натурального числа $n=k$, то есть $S_k = \frac{b_1(q^k - 1)}{q - 1}$. Это наше индукционное предположение.
Докажем, что формула верна и для $n=k+1$, то есть что $S_{k+1} = \frac{b_1(q^{k+1} - 1)}{q - 1}$.
Сумма $S_{k+1}$ по определению равна $S_k + b_{k+1}$. Используем доказанную в пункте (б) формулу для $b_{k+1} = b_1q^k$.
$S_{k+1} = S_k + b_{k+1} = \frac{b_1(q^k - 1)}{q - 1} + b_1q^k$.
Приведем к общему знаменателю:
$S_{k+1} = \frac{b_1(q^k - 1) + b_1q^k(q-1)}{q - 1} = \frac{b_1q^k - b_1 + b_1q^{k+1} - b_1q^k}{q - 1}$.
Сократим подобные слагаемые в числителе ($b_1q^k$ и $-b_1q^k$):
$S_{k+1} = \frac{b_1q^{k+1} - b_1}{q - 1} = \frac{b_1(q^{k+1} - 1)}{q - 1}$.
Мы получили требуемое равенство для $n=k+1$. Шаг индукции доказан.
Поскольку база и шаг индукции выполнены, формула верна для любого натурального $n$.
Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.